Chứng minh bất đẳng thức sau

Để chứng minh các bất đẳng thức trong bài toán này, ta lần lượt xem xét từng bất đẳng thức nêu trong VD1, VD2, VD3 và VD4.

### VD1
Ta có:
\[
\left( a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 \right) \left( x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 \right) \geq \left( a_1 x_1 + a_2 x_2 + \ldots + a_n x_n \right)^2
\]
Bất đẳng thức này đến từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

**Chứng minh:**
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\[
\left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) \geq \left( \sum_{i=1}^n a_i x_i \right)^2
\]

### VD2
Bất đẳng thức:
\[
(a^2 + b^2)(b^2 + c^2)(c^2 + a^2) \geq 8a^2b^2c^2 \quad \forall a,b,c > 0
\]

**Chứng minh:**
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
\[
\frac{(a^2 + b^2) + (b^2 + c^2) + (c^2 + a^2)}{3} \geq \sqrt[3]{(a^2 + b^2)(b^2 + c^2)(c^2 + a^2)}
\]
Bằng cách nhân và sắp xếp, ta có thể chứng minh rằng điều này dẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh.

### VD3
Bất đẳng thức:
\[
\frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c} \geq 3 \cdot \frac{1}{1+\sqrt[3]{abc}} \quad \text{với } abc \leq 1
\]

**Chứng minh:**
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho:
\[
\left( \frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c} \right)\left((1+a) + (1+b) + (1+c)\right) \geq (1+1+1)^2 = 9
\]
Từ đó suy ra bất đẳng thức.

### VD4
Bất đẳng thức:
\[
\left( \frac{1+a+b+c}{3} \right)^3 \geq (1+\sqrt[3]{abc})^2 \quad \forall a,b,c \geq 0
\]
Bất đẳng thức này cũng có thể được chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức AM-GM.

**Chứng minh:**
Sử dụng AM-GM ta sẽ có:
\[
\frac{1+a+b+c}{4} \geq \sqrt[4]{1 \cdot a \cdot b \cdot c}
\]
Tăng lên bậc 3 và so sánh với biểu thức bên phải.

Qua đó, áp dụng các kiến thức bất đẳng thức cơ bản, ta có thể giải quyết tất cả các trường hợp trong bài toán này.