Để chứng minh các điểm a, b, c của bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác đồng dạng và một số tính chất hình học cơ bản.

### a. Chứng minh rằng tam giác AMB = tam giác AMC:

Từ giả thiết, ta có:

- \( AB = AC \) (do ABC có AB = AC)
- \( M \) là trung điểm của \( BC \) nên \( BM = MC \)

Ta có:

- \( AM \) là cạnh chung của hai tam giác \( AMB \) và \( AMC \).

Do đó, theo tiêu chí cạnh - cạnh - cạnh (CC) cho hai tam giác, ta có:
\[
\triangle AMB \cong \triangle AMC
\]

### b. Chứng minh rằng góc BAM = góc CAM:

Khi đã chứng minh được \( \triangle AMB \cong \triangle AMC \), từ hai tam giác này, ta suy ra các góc tương ứng cũng bằng nhau. Cụ thể, từ sự đồng nhất của hai tam giác này, ta có:
\[
\angle BAM = \angle CAM
\]

### c. Chứng minh rằng AM vuông góc với BC:

Từ \( \triangle AMB \cong \triangle AMC \), ta có \( AB = AC \) và \( AM \) là cạnh chung, đồng thời \( BM = MC \). Theo tính chất của tam giác cân (góc ở đỉnh), ta có:

- Góc \( BAM \) và góc \( CAM \) bằng nhau.
- Điều này cho thấy rằng \( AM \) là đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).

Khi đó, phần \( AM \) vuông góc với đoạn thẳng \( BC \), tức là:
\[
AM \perp BC
\]

### Kết luận:

Từ các chứng minh ở trên, ta đã chứng minh thành công các kết luận:
- a. \( \triangle AMB = \triangle AMC \)
- b. \( \angle BAM = \angle CAM \)
- c. \( AM \perp BC \)

Vậy, đoạn \( AM \) vừa là đường phân giác đồng thời cũng là đường cao từ \( A \) xuống cạnh \( BC \).