Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng yếu tố của nó.

- Giả sử tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), với \(AB\) là cạnh vuông góc với \(AC\).
- \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\).
- \(ME\) vuông góc với \(AC\) và \(MF\) vuông góc với \(AB\).

1. **Xác định tứ giác \(BEMF\)**:
- Bởi vì \(ME \parallel AC\) và \(MF \parallel AB\), tứ giác \(BEMF\) sẽ là hình bình hành. Điều này đúng vì hai cặp cạnh đối diện của nó đều song song.

2. **Tính chất của điểm \(O\)**:
- Gọi \(O\) là trung điểm của \(AM\). Ta cần chứng minh rằng \(OE = OF\).

3. **Chứng minh \(OE = OF\)**:
- Do \(O\) là trung điểm của \(AM\) nên \(OA = OM\).
- Ta có:
- \(ME \parallel AC\) và \(MF \parallel AB\) nghĩa là \(OE\) và \(OF\) cũng sẽ vuông góc với hai đường thẳng tương ứng.
- Xem xét hình chiếu của \(O\) lên \(AB\) và \(AC\). Vì \(ME\) và \(MF\) song song nên chiều dài các đoạn thẳng từ \(O\) tới \(ME\) và \(MF\) là bằng nhau.
- Do đó, ta suy ra \(OE = OF\).

Kết luận, tứ giác \(BEMF\) là hình bình hành, và \(OE = OF\) do tính chất của trung điểm và các đường song song trong tam giác.