Để giải bài toán về hình thang vuông ABCD, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các phần của đề bài theo thứ tự.

### a) Chứng minh tam giác AOB đồng dạng với tam giác DAB

Xét các tam giác AOB và DAB:

- Tam giác AOB có góc A = 90° (vì AB là một cạnh vuông góc với AD).
- Tam giác DAB cũng có góc D = 90° (vì AD là một cạnh vuông góc với AB).

Chúng ta sẽ chứng minh rằng:

- Chúng có chung một góc, chính là góc ADB.

Từ đó, theo tiêu chuẩn G-G (góc-góc), ta suy ra rằng tam giác AOB đồng dạng với tam giác DAB.

### b) Tính độ dài AD

Để tính độ dài AD, ta có thể áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AOB và DAB.

Gọi AH là chiều cao từ A xuống CD, tức là:
\[ AD = AH = h \]
Gọi OB = OC = d (vì hai đường chéo cắt nhau).

Ta có thể tính toàn bộ chiều cao h, khi chuẩn bị cho các cạnh còn lại.

Một cách khác, tỉ số tổng chiều cao có thể được xác định dựa theo:
- Tâm O chia chiều cao an toàn sau nơi giao nhau.

\[ OA = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{h^2 + 8^2} \]
\[ OD = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{h^2 + 9^2} \]

Từ đây, ta cần biết thêm mối quan hệ để có thể tiếp tục giải cụ thể cho AD.

### c) Chứng minh OA ⋅ OD = CB ⋅ OC

Trong hình thang vuông ABCD với đường chéo cắt nhau tại O, ta có:

\[ OA \cdot OD = AB \cdot OC \]

Vì O là giao điểm, chúng ta có thể sử dụng tỉ lệ giữa các cạnh và các đoạn cắt nhau của tam giác (Hệ thức Menelaus hoặc định lý sức mạnh của điểm).

Theo đó, tính đồng định của các cạnh sẽ cho ta:
\[ OA^2 = AB \cdot OC \text{ và } OD^2 = BC \cdot OA\]
=> Từ đây chứng minh OA ⋅ OD = CB ⋅ OC sẽ dẫn qua các quan hệ tỉ số cụ thể về nối tiếp cạnh.

### d) Tính tỉ số diện tích tam giác OAB / diện tích tam giác OCD

Diện tích của tam giác OAB và OCD được tính như sau:

- Diện tích tam giác OAB:
\[ S_{OAB} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB \]

- Diện tích tam giác OCD:
\[ S_{OCD} = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OD \]

Tỉ số diện tích sẽ là:
\[
\frac{S_{OAB}}{S_{OCD}} = \frac{OA \cdot OB}{OC \cdot OD}
\]

Cuối cùng, khi chứng minh có sự đồng dạng, tỉ số sẽ là 8/9 bất biến.

### Tổng kết

Bài này cần có thêm thông tin về chiều cao và các đoạn để nuôi hậu quả tốt hơn. Nếu bạn có các thông số cụ thể cần chia sẻ, xin vui lòng cung cấp thêm để có thể tính toán cụ thể hơn.