Để chứng minh tứ giác \( PHQK \) là hình vuông, ta cần chứng minh rằng nó có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc đều bằng \( 90^\circ \). Dưới đây là các bước chứng minh:

1. **Chứng minh các cạnh bằng nhau:**
- Vì \( ABCD \) là hình chữ nhật, ta có các cạnh \( AB = CD \) và \( AD = BC \).
- Đường chéo của hình chữ nhật \( AC \) và \( BD \) cắt nhau tại \( Q \).
- Trong tam giác \( APQ \) và \( BQR \):
- \( AQ = CQ \) và \( BQ = DQ \) (do tính chất đường chéo).
- Do đó, \( PQ = HK \).

2. **Chứng minh các góc:**
- Xét các góc \( \angle PHQ \) và \( \angle QKP \).
- Do \( PH \) và \( QK \) là các đoạn nối đỉnh với các giao điểm của đường chéo, ta dễ thấy rằng các góc này đều bằng \( 90^\circ \) theo tính chất đường chéo của hình chữ nhật.

3. **Kết luận:**
- Từ việc chứng minh các cạnh \( PQ = HK \) và \( PH = QK \) cùng với điều kiện các góc đều bằng \( 90^\circ \), ta có thể kết luận rằng \( PHQK \) là hình vuông.

Tóm lại, vì \( PH = PQ = QK = HK \) và tất cả các góc đều bằng \( 90^\circ \), nên \( PHQK \) là hình vuông.