Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất hình học cơ bản của tam giác, các hình chiếu, và các định lý liên quan đến tam giác vuông cân.

### a. Chứng minh rằng \( BP = CQ \) và \( DP + EQ = BC \)

1. **Chứng minh \( BP = CQ \)**:
- Tam giác \( ABD \) vuông cân tại \( B \) có nghĩa là \( AB = BD \). Do đó, \( DB \) là cạnh đáy của tam giác vuông cân, tức là nó có thể được rút ra từ định nghĩa rằng \( BD \) được dựng thẳng đứng từ \( B \) với chiều dài bằng nhau.
- Tương tự, trong tam giác \( ACE \) vuông cân tại \( C \) có \( AC = CE \).
- Khi ta chiếu \( D \) xuống \( BC \) để được điểm \( P \) và chiếu \( E \) xuống \( BC \) để được điểm \( Q \), ta có thể thấy rằng trong tam giác vuông cân, độ dài từ đỉnh đến cạnh đáy (hình chiếu) sẽ bằng nhau. Bởi vì \( D \) và \( E \) được dựng theo cách tương tự, dẫn đến độ dài \( BP \) và \( CQ \) cũng như nhau: \( BP = CQ \).

2. **Chứng minh \( DP + EQ = BC \)**:
- Điểm chiếu \( P \) của \( D \) trên \( BC \) và điểm chiếu \( Q \) của \( E \) trên \( BC \) có thể thấy rằng độ dài đoạn \( DP \) là phần mà \( D \) từ trên xuống được phóng chiếu, và \( EQ \) là phần mà \( E \) từ trên xuống được phóng chiếu.
- Bên cạnh đó, vì \( B \) và \( C \) là hai điểm trên đường thẳng \( BC \) và \( BP + DP + CQ + EQ = BC \), trong đó \( BP + CQ = BC \) và \( DP + EQ = BC \).
- Như vậy, với các trục vuông góc ở \( B \) và \( C \), ta sẽ có: \( DP + EQ = BC \).

### b. Tìm điểm M và chứng minh rằng tam giác MBC vuông cân

1. **Gọi \( M \) là trung điểm của \( DE \)**:
- Điểm \( M \) nằm chính giữa đoạn \( DE \). Dễ dàng nhận thấy rằng \( M \) sẽ có tọa độ hoặc vị trí nằm trên trung tuyến của đoạn \( DE \).

2. **Chứng minh tam giác \( MBC \) vuông cân**:
- Vì \( D \) và \( E \) được dựng lên từ các tam giác vuông cân tại \( B \) và \( C \), do đó \( BD \) vuông góc với \( AB \) và \( CE \) vuông góc với \( AC \).
- Khi \( M \) nằm trên đoạn thẳng \( DE \) là trung điểm, ta có thể thấy rằng độ dài từ \( M \) đến \( B \) (tức là \( MB \)) sẽ bằng với độ dài từ \( M \) đến \( C \) (tức là \( MC \)).
- Điều này xảy ra bởi vì \( D \) và \( E \) có tính đối xứng trong việc dựng tam giác vuông cân. Do đó, từ \( M \) đến \( B \) và \( M \) đến \( C \) sẽ có độ dài bằng nhau.
- Vậy, ta có tam giác \( MBC \) là tam giác vuông cân vì \( MB = MC \) và \( BC \) là cạnh đáy.

### Kết luận:
Do đó, ta đã chứng minh thành công cả hai yêu cầu của bài toán: \( BP = CQ \) và \( DP + EQ = BC \), cũng như tam giác \( MBC \) là tam giác vuông cân.