Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số y = x^3 + 3x^2 + (m - 3)x + m có hai điểm cực trị M(9; -5) thuộc đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị

Để tìm các giá trị \( m \) sao cho đồ thị hàm số \( y = x^3 + 3x^2 + (m - 3)x + m \) có hai điểm cực trị và điểm \( M(9; -5) \) thuộc đường thẳng đi qua hai điểm cực trị, ta thực hiện theo các bước sau:

1. **Tính đạo hàm**:
\[
y' = 3x^2 + 6x + (m - 3)
\]
Để có hai điểm cực trị, phương trình \( y' = 0 \) phải có hai nghiệm phân biệt.

2. **Tính điều kiện có hai nghiệm phân biệt**:
Để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, điều kiện cần là:
\[
\Delta = b^2 - 4ac > 0
\]
Áp dụng vào đây:
\[
\Delta = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot (m - 3) = 36 - 12(m - 3) > 0
\]
Giải bất phương trình này:
\[
36 - 12m + 36 > 0 \Rightarrow 72 > 12m \Rightarrow m < 6
\]

3. **Tìm tọa độ các điểm cực trị**:
Giải \((m - 3) + 3(x + 1)^2 = 0\):
\[
x_1, x_2 = -1 \pm \sqrt{D}
\]

4. **Điểm \( M(9, -5) \) thuộc đường thẳng**:
Giả sử hai điểm cực trị có tọa độ \((x_1, y_1)\) và \((x_2, y_2)\). Đường thẳng đi qua hai điểm này có dạng:
\[
y = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1) + y_1
\]
Để \( M(9, -5) \) thuộc đường thẳng này, ta thay \( x = 9 \) và giải phương trình.

5. **Giải hệ phương trình**:
Sử dụng các giá trị cực trị và điều kiện \( y(9) = -5 \) để tìm \( m \).

Sau khi hoàn thành các bước này, ta sẽ tìm được các giá trị của \( m \) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Nếu cần tính chính xác hơn ứng với từng bước cụ thể, hãy tiếp tục giải theo hướng giải tích để có được giá trị cụ thể của \( m \).