Để tìm số tập con của tập hợp \( A = \{ x \in \mathbb{R} | 3(x^2 + x)^2 - 2x^2 - 2x = 0 \} \), trước tiên chúng ta sẽ giải phương trình sau:

\[
3(x^2 + x)^2 - 2x^2 - 2x = 0
\]

Để đơn giản hóa phương trình, đặt \( y = x^2 + x \). Khi đó, \( (x^2 + x)^2 = y^2 \) và phương trình trở thành:

\[
3y^2 - 2x^2 - 2x = 0
\]

Biến đổi lại để tìm mối liên hệ giữa \( y \) và \( x \):

\[
y = x^2 + x \implies 3(x^2 + x)^2 = 2x^2 + 2x
\]

Thay \( y \) vào phương trình, ta có:

\[
3y^2 - 2y = 0 \implies y(3y - 2) = 0
\]

Giải phương trình này cho \( y \):

1. \( y = 0 \) → \( x^2 + x = 0 \) ⟹ \( x(x + 1) = 0 \) ⟹ \( x = 0 \) hoặc \( x = -1 \).
2. \( 3y - 2 = 0 \) ⟹ \( y = \frac{2}{3} \) → \( x^2 + x = \frac{2}{3} \) ⟹ \( x^2 + x - \frac{2}{3} = 0 \).

Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm, ta có:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + \frac{8}{3}}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{\frac{11}{3}}}{2}
\]

Như vậy, tổng cộng chúng ta có 3 nghiệm \( x \):

- \( x = 0 \)
- \( x = -1 \)
- \( x = \frac{-1 + \sqrt{\frac{11}{3}}}{2} \)
- \( x = \frac{-1 - \sqrt{\frac{11}{3}}}{2} \)

Tập hợp \( A \) có 4 phần tử. Số tập con của một tập hợp có \( n \) phần tử được tính là \( 2^n \).

Vậy số tập con của tập hợp \( A \) là:

\[
2^4 = 16
\]

Do đó, đáp án là \( \text{A. } 16 \).