Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ các tia tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC, K là giao điểm của MI với AB

Để chứng minh hai yêu cầu trong bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất về tiếp tuyến và hình học phẳng.

### a) Chứng minh \( MK \parallel AC \)

1. **Tính chất tiếp tuyến**: Từ điểm A kẻ tiếp tuyến Ax và từ điểm B kẻ tiếp tuyến By, ta có \( OA \perp Ax \) và \( OB \perp By \).

2. **Giao điểm**: Ta đã có điểm I là giao điểm của AD và BC. Theo định nghĩa, các tia tiếp tuyến sẽ tạo thành các góc bằng nhau với đoạn thẳng nối tâm O tới điểm M (góc \( OMA = OMK \) và góc \( OMB = OMK \)).

3. **Tính chất các đường thẳng cắt nhau**:
- Từ khi AD và BC cắt nhau tại I, tạo thành các góc bằng nhau. Do đó, góc \( MKI \) sẽ tương ứng bằng góc \( AIC \).
- Theo hệ quả của góc đồng vị, ta có \( MK \parallel AC \).

### b) Chứng minh \( MI = IK \)

1. **Khoảng cách tính chất của hình thang**: Bởi vì MK // AC, ta có thể sử dụng tính chất các hình thang với các đường song song, từ đó dẫn đến điều này.

2. **Phân tích tứ giác**: Tứ giác MIKC có các cặp cạnh đối diện song song. Áp dụng định lý về tỉ số cạnh trong tứ giác, ta có:
\[
\frac{MI}{IK} = \frac{MK}{AC}
\]
Tuy nhiên, do MK // AC, nên tỉ số này bằng 1, suy ra \( MI = IK \).

### Kết luận

Với hai chứng minh trên, ta có thể kết luận được rằng:
1. \( MK \parallel AC \)
2. \( MI = IK \)

Nếu bạn cần thêm bất kỳ bước nào rõ hơn hoặc một lối tiếp cận khác, hãy cho tôi biết!