Để giải các phương trình trong bài toán, ta sẽ làm theo từng phương trình một.

### a) \( 3x(x - 7) + 5(x - 7) = 0 \)

Phân tích:
\[
(3x + 5)(x - 7) = 0
\]

Giải các phương trình:
1. \( x - 7 = 0 \) → \( x = 7 \)
2. \( 3x + 5 = 0 \) → \( x = -\frac{5}{3} \)

Giải nghiệm: \( x = 7 \) và \( x = -\frac{5}{3} \)

### b) \( 5x(x - 9) = 2(x - 9) \)

Chia cả hai bên cho \( (x - 9) \) (với điều kiện \( x \neq 9 \)):
\[
5x = 2
\]

Giải:
\[
x = \frac{2}{5}
\]

Kiểm tra điều kiện: \( x \neq 9 \) thỏa mãn.

### c) \( x^3 + 2x^2 + x + 2 = 0 \)

Sử dụng phương pháp thử nghiệm với các số nguyên (giả thuyết nghiệm nghiệm):
- Thử \( x = -1 \):
\[
(-1)^3 + 2(-1)^2 + (-1) + 2 = -1 + 2 - 1 + 2 = 2 \quad \text{(không phải nghiệm)}
\]
- Thử \( x = -2 \):
\[
(-2)^3 + 2(-2)^2 + (-2) + 2 = -8 + 8 - 2 + 2 = -8 \quad \text{(không phải nghiệm)}
\]
- Thử \( x = -1 \):
\[
(-1)^3 + 2(-1)^2 + (-1) + 2 = 0 \quad \text{(phương trình có nghiệm)}
\]

Sau khi tìm nghiệm \( x = -1 \), phân tích thành \( (x + 1)(x^2 + x + 2) \).
Phương trình bậc 2 không có nghiệm thực, vì \( \Delta < 0 \).

Giải nghiệm: \( x = -1 \)

### d) \( \frac{5x - 3}{x + 2} - 4 = \frac{6}{x + 2} \)

Phương trình trở thành:
\[
5x - 3 - 4(x + 2) = 6 \Rightarrow 5x - 3 - 4x - 8 = 6
\]
\[
x - 11 = 6 \Rightarrow x = 17
\]

### e) \( \frac{1}{x} \cdot (x + 2) = -\frac{2}{x(x - 2)} \)

Nhân cả hai bên cho \( x(x - 2) \) (với điều kiện \( x \neq 0 \text{ và } x \neq 2 \)):
\[
(x + 2)(x - 2) = -2
\]
\[
x^2 - 4 = -2 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \sqrt{2} \text{ hoặc } x = -\sqrt{2}
\]

### g) \( \frac{7}{x - 5} - 2 = \frac{3}{5 - x} \)

Ta có thể viết lại phương trình:
\[
\frac{7}{x - 5} + 2 = -\frac{3}{x - 5}
\]
Nhân cả hai bên cho \( x - 5 \):
\[
7 + 2(x - 5) = -3 \Rightarrow 2x - 10 + 7 = -3 \Rightarrow 2x - 3 = -3
\]
\[
2x = 0 \Rightarrow x = 0
\]

### Kết quả cuối cùng:
- a) \( x = 7 \) và \( x = -\frac{5}{3} \)
- b) \( x = \frac{2}{5} \)
- c) \( x = -1 \)
- d) \( x = 17 \)
- e) \( x = \sqrt{2} \) và \( x = -\sqrt{2} \)
- g) \( x = 0 \)