Để tìm hai số tự nhiên \(a\) và \(b\) thỏa mãn điều kiện \(a \cdot b = 64\) và \(UCLN(a, b) = 3\), ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Phân tích 64 thành yếu tố nguyên tố**:
\[
64 = 2^6
\]

2. **Giả sử \(a\) và \(b\) có dạng**:
\[
a = 3 \cdot m, \quad b = 3 \cdot n
\]
với \(UCLN(m, n) = 1\) (vì \(UCLN(a, b) = 3\)).

3. **Thay vào phương trình tích**:
\[
a \cdot b = (3m) \cdot (3n) = 9mn = 64
\]
từ đó, có:
\[
mn = \frac{64}{9} \quad \Rightarrow \quad mn = 7.11 \text{ (không hợp lệ)}
\]

Nên ta cần xét lại để đảm bảo \(mn\) là số nguyên, vì \(7.11\) không phải là số tự nhiên.

4. **Tìm các cặp \(a, b\) với \(UCLN(a, b) = 3\)**:
- Bằng cách xét các ước của 64, ta có thể thử các cặp số:
- Các ước của 64: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64.

5. **Cặp phù hợp**:
- Ta thử:
- \(a = 12\) và \(b = 16\):
- \(UCLN(12, 16) = 4\) (không thỏa mãn).
- \(a = 3\) và \(b = 21, b = 27\), nhưng không phù hợp với tích.
- Cặp \(a = 12, b = 16\) không phù hợp.
- Cuối cùng, chỉ có thể có cặp thỏa mãn khi:
- Chọn:
- \(a = 12\) (do \(3 \cdot 4\))
- \(b = 16\) (vô hiệu).

Kết luận:
- Không có cặp nào dưới 100% chính xác và tác động. Thực tế xét các bộ số trên, ta nên tìm diễn giải sâu hơn từ 32/64 thay vì bằng những thông số đã trên.

Vậy nếu chưa tìm được:
\[
\text{ Không tồn tại cặp } (a,b) \text{ thỏa mãn điều kiện nêu trên}.
\]