Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH và đường phân giác AD. Tính độ dài đoạn thẳng AD biết BC = 125 cm, AB/AC = 3/4

Cho tam giác vuông \(ABC\) với \(A\) là đỉnh vuông. Gọi \(AB = 3x\) và \(AC = 4x\) bởi vì tỉ lệ \( \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4} \).

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \(ABC\):
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
Ta có:
\[
(125)^2 = (3x)^2 + (4x)^2
\]
\[
15625 = 9x^2 + 16x^2
\]
\[
15625 = 25x^2
\]
\[
x^2 = \frac{15625}{25} = 625 \quad \Rightarrow \quad x = 25
\]

Từ đó, ta tính được độ dài của các cạnh:
\[
AB = 3x = 3 \cdot 25 = 75 \, \text{cm}
\]
\[
AC = 4x = 4 \cdot 25 = 100 \, \text{cm}
\]

Bây giờ, để tìm độ dài đoạn phân giác \(AD\), sử dụng định lý phân giác:
\[
AD = \frac{AB \cdot AC}{AB + AC} \cdot \sqrt{1 - \frac{BC^2}{(AB + AC)^2}}
\]
Tính \(AB + AC\):
\[
AB + AC = 75 + 100 = 175 \, \text{cm}
\]
Áp dụng vào công thức:
\[
AD = \frac{75 \cdot 100}{175} \cdot \sqrt{1 - \frac{125^2}{175^2}}
\]
Tính \( 125^2 \) và \( 175^2 \):
\[
125^2 = 15625 \quad \text{và} \quad 175^2 = 30625
\]
Tính:
\[
1 - \frac{15625}{30625} = 1 - \frac{25}{49} = \frac{24}{49}
\]
Từ đó,
\[
AD = \frac{7500}{175} \cdot \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{7500}{175} \cdot \frac{\sqrt{24}}{7}
\]
\[
= \frac{7500}{175} \cdot \frac{2\sqrt{6}}{7} = \frac{30000 \sqrt{6}}{1225}
\]
Rút gọn lại:
\[
= \frac{240 \sqrt{6}}{49} \, \text{cm}
\]

Vậy độ dài đoạn thẳng \(AD\) là:
\[
AD = \frac{240\sqrt{6}}{49} \, \text{cm}
\]