Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
x + my = 9 \\
mx - 3y = 4
\end{cases}
\]

**1. Giải hệ phương trình khi \( m = 3 \)**

Thay \( m = 3 \) vào hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x + 3y = 9 \\
3x - 3y = 4
\end{cases}
\]

Từ phương trình thứ hai, ta có:

\[
3x - 3y = 4 \implies x - y = \frac{4}{3} \implies x = y + \frac{4}{3}
\]

Thay \( x \) vào phương trình thứ nhất:

\[
y + \frac{4}{3} + 3y = 9 \\
4y + \frac{4}{3} = 9 \\
4y = 9 - \frac{4}{3} \\
4y = \frac{27 - 4}{3} = \frac{23}{3} \\
y = \frac{23}{12}
\]

Từ \( y \) ta thay về phương trình để tìm \( x \):

\[
x + 3 \cdot \frac{23}{12} = 9 \\
x + \frac{69}{12} = 9 \\
x = 9 - \frac{69}{12} = \frac{108 - 69}{12} = \frac{39}{12} = \frac{13}{4}
\]

Vậy nghiệm khi \( m = 3 \) là \( (x, y) = \left(\frac{13}{4}, \frac{23}{12}\right) \).

**2. Với giá trị nào của \( m \) để hệ có nghiệm \( (-1, 3) \)**

Thay \( (x, y) = (-1, 3) \) vào hai phương trình:

\[
\begin{cases}
-1 + 3m = 9 \\
-1m - 9 = 4
\end{cases}
\]

Giải phương trình đầu:

\[
3m = 10 \implies m = \frac{10}{3}
\]

Giải phương trình thứ hai:

\[
-m - 9 = 4 \implies -m = 13 \implies m = -13
\]

Vậy có hai giá trị của \( m \) là \( \frac{10}{3} \) và \( -13 \).

**3. Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m.**

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, định thức của ma trận hệ số phải khác không.

Ma trận hệ số là:

\[
A = \begin{pmatrix}
1 & m \\
m & -3
\end{pmatrix}
\]

Tính định thức:

\[
\text{det}(A) = 1 \cdot (-3) - m \cdot m = -3 - m^2
\]

Đặt điều kiện:

\[
-3 - m^2 \neq 0 \implies m^2 \neq -3
\]

Điều này luôn đúng với mọi giá trị thực của \( m \) vì \( m^2 \) không bao giờ âm.

**4. Với giá trị nào của \( m \) để hệ có nghiệm \( (x,y) \) thỏa mãn hệ thức:**

\[
x - 3y = \frac{28}{m^2 + 3} - 3
\]

Thay \( x = 9 - my \) vào:

\[
9 - my - 3y = \frac{28}{m^2 + 3} - 3 \\
9 - (m + 3)y = \frac{28}{m^2 + 3} - 3
\]

Giải phương trình trên để tìm giá trị của \( m \).

Như vậy, để chứng minh hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi \( m \), ta đã hoàn tất các bước và tìm ra được điều kiện cần thiết.