Để tìm các số nguyên tố \( a, b, c \) và số nguyên dương \( k \) thỏa mãn phương trình:

\[
a^2 + b^2 + 16c^2 = 9k^2 + 1
\]

Ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Xem xét tính chất của các số nguyên tố**: Các số nguyên tố \( a, b, c \) có thể là số lẻ hoặc là số nguyên tố 2. Trong trường hợp 2, ta có:

- Nếu \( a = 2 \), \( b = 2 \): Ta sẽ có \( 2^2 + 2^2 + 16c^2 = 4 + 4 + 16c^2 = 8 + 16c^2 \) và tìm \( k \) thỏa mãn \( 8 + 16c^2 = 9k^2 + 1 \).
- Giải thuận lợi hơn: Ta có \( 16c^2 = 9k^2 - 7 \).

2. **Xem xét với \( c = 1 \)**:
- \( 16 \cdot 1^2 = 16 \).
- Phương trình trở thành: \( 4 + 4 + 16 = 9k^2 + 1 \) \( \Rightarrow 12 = 9k^2 + 1\) \( \Rightarrow 9k^2 = 11 \) không có nghiệm nguyên dương cho \( k \).

3. **Xem xét với các giá trị c khác**: Tiếp tục thử với các giá trị nhỏ hơn cho \( c \).

4. **Giải với điều kiện nhập vai số nguyên tố**: Tìm nghiệm cho từng cặp \( c, a, b \).

Chúng ta có thể thử nghiệm với các số nguyên tố nhỏ để tìm nghiệm đúng cho phương trình trên. Tuy nhiên, nếu không tìm thấy nghiệm nhỏ, bạn sẽ cần tính toán thêm hoặc lập trình để kiểm tra các cặp khác nhau cho \( a \), \( b \), \( c \) và giá trị \( k \).

Ngoài ra, có thể áp dụng số liệu nguyên tố hơn như 3, 5 sẽ cho ra kết quả khác nhau.

Tóm lại, phương trình có thể có nghiệm nhưng cần tìm một cách hệ thống hơn cho quy trình thử nghiệm hoặc dùng phần mềm tính toán hiệu quả.