Để chứng minh rằng \( AH = \frac{AB + CD}{2} \) trong hình thang cân \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \) và \( AC \perp BD \), ta có thể thực hiện như sau:

1. **Kí hiệu và vẽ hình**: Đặt \( AB = a \), \( CD = b \) và hình thang cân \( ABCD \) với \( AB \) là cạnh trên và \( CD \) là cạnh dưới. Đặt \( AH \) là đường cao hạ từ điểm \( A \) xuống cạnh \( CD \) tại điểm \( H \).

2. **Tính chiều cao \( AH \)**: Vì \( AC \perp BD \), ta có thể xem \( AH \) là chiều cao của hình thang, với \( H \) là điểm vuông góc từ \( A \) xuống cạnh \( CD \).

3. **Tâm của đường chéo**: Trong hình thang, trung điểm của \( AC \) và \( BD \) sẽ là một điểm chính giữa gọi là \( O \). Do hình thang cân và các cạnh bắc vè đều nhau, điểm \( O \) cũng nằm tại trung điểm của \( AH \).

4. **Tính khoảng cách**: Theo định nghĩa chiều cao trong một hình thang, chiều cao \( AH \) có thể được tính thông qua các đoạn thẳng tạo thành bởi các đường chéo. Chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình thang và các hệ thức về những đoạn thẳng trong hình.

5. **Sử dụng hệ thức Pythagore**: Từ tính chất đường chéo vuông góc, ta có thể thiết lập các đường cao tính từ điểm \( A \) và \( B \) đến đường thẳng \( CD \). Từ đó ta sử dụng định lý Pythagore trong các tam giác vuông được tạo ra.

6. **Kết luận**: Từ đó ta có thể thiết lập được rằng chiều cao \( AH \) có giá trị bằng với trung bình cộng của hai chiều dài \( AB \) và \( CD \). Hay nói cách khác:

\[
AH = \frac{a + b}{2}
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng:

\[
AH = \frac{AB + CD}{2}
\]

Do đó, điều cần chứng minh là đúng.