Để tìm cặp số nguyên \(x\) và \(y\) cho phương trình \(3xy - 5y + x = 11\), chúng ta có thể viết lại phương trình dưới dạng:

\[
3xy - 5y + x - 11 = 0
\]

Xét phương trình này như một phương trình bậc nhất đối với \(y\):

\[
3xy - 5y + (x - 11) = 0
\]

Chúng ta có thể viết lại nó như sau:

\[
y(3x - 5) + (x - 11) = 0
\]

Từ đó, ta có thể giải phương trình theo \(y\):

\[
y(3x - 5) = - (x - 11)
\]

Thì:

\[
y = \frac{-(x - 11)}{3x - 5}
\]

Để \(y\) là số nguyên, mẫu số \(3x - 5\) phải chia hết cho \(-(x - 11)\). Chúng ta thử một số giá trị nguyên cho \(x\) và từ đó tìm ra giá trị tương ứng của \(y\).

### Thử các giá trị của \(x\):

1. **Khi \(x = 0\):**
\[
y = \frac{-(-11)}{-5} = \frac{11}{-5} \quad \text{(không phải số nguyên)}
\]

2. **Khi \(x = 1\):**
\[
y = \frac{-(1 - 11)}{3(1) - 5} = \frac{10}{-2} = -5 \quad \text{(cặp: (1, -5))}
\]

3. **Khi \(x = 2\):**
\[
y = \frac{-(2 - 11)}{3(2) - 5} = \frac{9}{1} = 9 \quad \text{(cặp: (2, 9))}
\]

4. **Khi \(x = 3\):**
\[
y = \frac{-(3 - 11)}{3(3) - 5} = \frac{8}{4} = 2 \quad \text{(cặp: (3, 2))}
\]

5. **Khi \(x = 4\):**
\[
y = \frac{-(4 - 11)}{3(4) - 5} = \frac{7}{7} = 1 \quad \text{(cặp: (4, 1))}
\]

6. **Khi \(x = 5\):**
\[
y = \frac{-(5 - 11)}{3(5) - 5} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \quad \text{(không phải số nguyên)}
\]

Tương tự, chúng ta thử các giá trị âm cho \(x\):

7. **Khi \(x = -1\):**
\[
y = \frac{-(-1 - 11)}{3(-1) - 5} = \frac{12}{-8} = -\frac{3}{2} \quad \text{(không phải số nguyên)}
\]

8. **Khi \(x = -2\):**
\[
y = \frac{-(-2 - 11)}{3(-2) - 5} = \frac{13}{-11} \quad \text{(không phải số nguyên)}
\]

Có thể thấy rằng các cặp \((x, y)\) là:
- \((1, -5)\)
- \((2, 9)\)
- \((3, 2)\)
- \((4, 1)\)

Tiếp tục thử thêm một số số nguyên khác để xem có bất kỳ cặp nào khác không.

Tóm lại, các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn phương trình là:
- \((1, -5)\)
- \((2, 9)\)
- \((3, 2)\)
- \((4, 1)\)

Nếu bạn cần thêm cặp số nào khác, hãy cho tôi biết!