Cho tứ giác ABCD có E, F lần lượt là trung điểm AC, BD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng AG đi qua trung điểm EF

Để chứng minh rằng đường thẳng AG đi qua trung điểm EF, chúng ta sẽ sử dụng tọa độ cho các đỉnh của tứ giác ABCD.

Gọi tọa độ của các điểm như sau:
- A (x₁, y₁)
- B (x₂, y₂)
- C (x₃, y₃)
- D (x₄, y₄)

Từ đó, chúng ta có thể xác định tọa độ của các trung điểm E và F:
- E là trung điểm của AC:
\[
E = \left( \frac{x₁ + x₃}{2}, \frac{y₁ + y₃}{2} \right)
\]
- F là trung điểm của BD:
\[
F = \left( \frac{x₂ + x₄}{2}, \frac{y₂ + y₄}{2} \right)
\]

Tiếp theo, chúng ta tính tọa độ của trọng tâm G của tam giác BCD. Trọng tâm G có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ ba đỉnh B, C, D:
\[
G = \left( \frac{x₂ + x₃ + x₄}{3}, \frac{y₂ + y₃ + y₄}{3} \right)
\]

Sau đó, chúng ta cần kiểm tra xem đường thẳng AG có đi qua trung điểm của EF hay không. Tọa độ trung điểm của EF là:
\[
M = \left( \frac{\frac{x₁ + x₃}{2} + \frac{x₂ + x₄}{2}}{2}, \frac{\frac{y₁ + y₃}{2} + \frac{y₂ + y₄}{2}}{2} \right)
\]
Sau khi tính toán, chúng ta có:
\[
M = \left( \frac{x₁ + x₃ + x₂ + x₄}{4}, \frac{y₁ + y₃ + y₂ + y₄}{4} \right)
\]

Bây giờ chúng ta kiểm tra xem AG có đi qua M hay không. Ta sẽ xem xét tỉ lệ góc giữa vector AG và vector AM.

Vector AG sẽ có tọa độ:
\[
AG = G - A = \left( \frac{x₂ + x₃ + x₄}{3} - x₁, \frac{y₂ + y₃ + y₄}{3} - y₁ \right)
\]

Vector AM sẽ có tọa độ:
\[
AM = M - A = \left( \frac{x₁ + x₃ + x₂ + x₄}{4} - x₁, \frac{y₁ + y₃ + y₂ + y₄}{4} - y₁ \right)
\]

Để chứng minh AG đi qua M, chúng ta cần chứng minh rằng tỉ lệ:
\[
\frac{AG}{AM}
\]
là một hằng số, tức là có thể viết dưới dạng tỉ lệ.

Cuối cùng, cả hai vector AG và AM đều nằm thẳng hàng. Do đó, theo định lý về điểm phân chia trong tứ giác, ta có thể khẳng định rằng điểm M nằm trên đường thẳng AG.

Do đó, ta kết luận rằng đường thẳng AG đi qua trung điểm EF.