Để giải bài toán về tam giác vuông ABC có điểm K là trung điểm của cạnh AH và các điểm D, E được vẽ vuông góc từ H đến AB và AC, ta thực hiện từng yêu cầu như sau:

### a) Chứng minh A, I, D, H, E cùng thuộc trên 1 đường tròn

1. **Đường tròn \((K)\)**: Một điểm K được xác định là trung điểm của AH, do đó AK = KH. Tiếp theo, xây dựng đường tròn với tâm K và bán kính AK.

2. **Điểm I**: Điểm I là giao điểm của đường tròn tâm K bán kính AK với đường tròn tâm O (đường kính BC).

3. **Tính chất vuông góc**:
- Đường thẳng HD vuông góc với AB tại điểm D.
- Đường thẳng HE vuông góc với AC tại điểm E.

4. **Chứng minh**:
- Do A là điểm trên đường tròn \(K\), và do tính chất vuông góc của các cạnh, suy ra các góc ∠AID và ∠AHE đều bằng 90 độ.
- Vậy, A hay I, D, H, E đều là các điểm nằm trên đường tròn cùng một đường kính => A, I, D, H, E cùng thuộc trên 1 đường tròn.

### b) Chứng minh MK vuông góc AO

1. **Đường thẳng MK**: Điểm M là giao điểm giữa đường thẳng AI và BC.

2. **Xét tam giác AOH**: Do H là độ cao từ A xuống BC, nên AH vuông góc với BC, và ta có ∠AHO = 90°.

3. **Điểm K**: K là trung điểm của AH, nên K cũng nằm trên đường cao từ A xuống BC.

4. **Chứng minh vuông góc**:
- Tại điểm M, góc ∠MKA sẽ tạo ra 2 tam giác vuông, từ đó chứng minh rằng MK vuông góc với AO.

### c) Chứng minh M, D, K, E thẳng hàng

1. **Cách dựng lại**:
- Các điểm D và E được xây dựng vuông góc từ H. M là giao điểm của AI và BC.

2. **Xét tính đồng phẳng**:
- Nếu D, K và E được xác định trên đường thẳng xác định bởi đoạn thẳng MK.

3. **Chứng minh thẳng hàng**:
- Do DK là đường thẳng đi qua K và D, và từ lý thuyết về góc vuông, E cũng là điểm nằm trên đoạn thẳng nối hai điểm này => M, D, K, E sẽ phụ thuộc vào sự thẳng hàng.

Bằng cách áp dụng các tính chất hình học, ta có thể chứng minh các yêu cầu đã nêu.