Để giải bài toán, ta cần xử lý hệ phương trình đã cho:

\[
\frac{3}{x} + \frac{y}{3} = \frac{5}{6}
\]

Đầu tiên, chúng ta nhân cả hai vế của phương trình với \(6x\) để loại bỏ mẫu:

\[
6x \left(\frac{3}{x} + \frac{y}{3}\right) = 6x \cdot \frac{5}{6}
\]
\[
18 + 2xy = 5x
\]

Chuyển các hạng tử về một phía:

\[
2xy - 5x + 18 = 0 \tag{1}
\]

Bây giờ ta cần tìm \(x\) và \(y\) thuộc \(\mathbb{Z}\) (tập hợp các số nguyên).

Ta sẽ giải phương trình (1) cho \(y\):

\[
2xy = 5x - 18
\]
\[
y = \frac{5x - 18}{2x}
\]

Muốn \(y\) là số nguyên, \(5x - 18\) phải chia hết cho \(2x\). Điều này có nghĩa là \(5x - 18\) phải chia hết cho \(2\) khi \(x\) khác 0.

Giả sử \(x\) là các số nguyên khác nhau, ta thử với các giá trị cụ thể cho \(x\):

- **Với \(x = 1\)**:
\[
y = \frac{5(1) - 18}{2(1)} = \frac{-13}{2} \text{ (không phải số nguyên)}
\]

- **Với \(x = 2\)**:
\[
y = \frac{5(2) - 18}{2(2)} = \frac{-8}{4} = -2 \text{ (số nguyên)}
\]

- **Với \(x = 3\)**:
\[
y = \frac{5(3) - 18}{2(3)} = \frac{-3}{6} \text{ (không phải số nguyên)}
\]

- **Với \(x = 4\)**:
\[
y = \frac{5(4) - 18}{2(4)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \text{ (không phải số nguyên)}
\]

- **Với \(x = 5\)**:
\[
y = \frac{5(5) - 18}{2(5)} = \frac{7}{10} \text{ (không phải số nguyên)}
\]

- **Với \(x = 6\)**:
\[
y = \frac{5(6) - 18}{2(6)} = \frac{12}{12} = 1 \text{ (số nguyên)}
\]

Chúng ta đã tìm ra hai cặp \((x, y)\) là \((2, -2)\) và \((6, 1)\).

Có thể tìm thêm giá trị cho \(x\) âm, ví dụ:

- **Với \(x = -2\)**:
\[
y = \frac{5(-2) - 18}{2(-2)} = \frac{-28}{-4} = 7 \text{ (số nguyên)}
\]

- **Với \(x = -6\)**:
\[
y = \frac{5(-6) - 18}{2(-6)} = \frac{-48}{-12} = 4 \text{ (số nguyên)}
\]

Tóm lại, các cặp \((x, y)\) thoả mãn phương trình là:
1. \((2, -2)\)
2. \((6, 1)\)
3. \((-2, 7)\)
4. \((-6, 4)\)

Bạn có thể tìm kiếm các cặp thêm nữa bằng cách thử các giá trị nguyên cho \(x\).