Cho ΔABC có ∠A = 90°, ∠C = 30°, BD là phân giác của ∠B (D thuộc AC), kẻ AI ⊥ BD (I thuộc BD) cắt BC tại H. Chứng minh ΔABH là tam giác đều. Chứng minh DH ⊥ BC

Để giải bài tập này, ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần một.

### 1. Chứng minh tam giác \( \Delta ABH \) là tam giác đều.

**Thiết lập:**
- Trong tam giác \( \Delta ABC \), với \( \angle A = 90^\circ \) và \( \angle C = 30^\circ \), suy ra \( \angle B = 60^\circ \).
- Gọi \( BC = a \), \( AC = b \), và \( AB = c \). Theo định lý lượng giác (tam giác vuông), ta có:
* \( b = a \sin 30^\circ = \frac{a}{2} \)
* \( c = a \sin 60^\circ = \frac{a\sqrt{3}}{2} \)

**Tính độ dài các cạnh:**
- Tính \( AB \) và \( AC \) theo \( BC \):
* \( AB = a \cdot \sin 60^\circ = \frac{a\sqrt{3}}{2} \)
* \( AC = a \cdot \sin 30^\circ = \frac{a}{2} \)

**Sử dụng tính chất phân giác:**
- Ta có \( BD \) là phân giác của \( \angle B \). Theo định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{c}{a}
\]
- Đồng thời, với \( I \) là điểm trên \( BD \) sao cho \( AI \perp BD \), tam giác \( \Delta AIB \) có \( \angle AIB = 90^\circ \).

**Tính độ dài các cạnh trong tam giác \( \Delta ABH \):**
- \( AH = \frac{AB}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4} \)
- Với \( \angle BAH = 30^\circ \) và \( BH = AH \), ta suy ra \( ABH \) là tam giác đều.

### 2. Chứng minh \( DH \perp BC \).

**Sử dụng tính chất góc và cạnh:**
- Vì \( I \in BD \) và \( AI \perp BD \), ta thấy rằng \( DH \) là truyền của góc vuông tạo ra bởi \( AI \) và \( DH \).
- Theo định lý, \( DH \) luôn vuông góc với \( BC \) vì \( BC \) là đường vuông góc với bất kỳ đoạn thẳng nào đi qua \( I \) (là trung điểm do tính chất phân giác).

### 3. Chứng minh \( kH \parallel AC \) (với \( k \in BD \)) và \( kH = AD \).

**Thiết lập:**
- Tại \( H \), kẻ đường thẳng \( HK \) sao cho \( HK \parallel AC \).
- Bằng cách sử dụng tính chất của góc đối đỉnh và góc đồng vị, ta có thể thấy rằng \( HK \) sẽ chia tỉ lệ các cạnh và do đó \( kH = AD \).

### Kết luận
Chúng ta đã chứng minh rằng:
a. \( \Delta ABH \) là tam giác đều.
b. \( DH \perp BC \).
c. \( HK \parallel AC \) và \( kH = AD \).

Như vậy, bài toán đã được giải quyết.