Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần như sau:

### a) Chứng minh \(\Delta OAE = \Delta OBF'\)

- Ta có: \(OA = OB\) (theo đề bài).
- \(AE \perp OA\) và \(BF' \perp OB\) (vì AE, BF' được kẻ vuông góc).
- Suy ra hai tam giác \(\Delta OAE\) và \(\Delta OBF'\) có hai cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng nhau (OA = OB).

Do đó, theo định lý Tam giác vuông, ta suy ra \(\Delta OAE \cong \Delta OBF'\).

Vậy, từ hai tam giác tương ứng, ta có \(OE = OF\).

### b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AE\) và \(BF\).

- Chú ý rằng \(EI \perp OA\) và \(FI \perp OB\).
- Xét hai tam giác vuông \(\Delta OAE\) và \(\Delta OBF'\):
- \(O\) là đỉnh chung và \(OE\) = \(OF\).

Ta sẽ chứng minh \(EM = EI\) và \(EF = IF\).

### c) Chứng minh ba điểm \(O\), \(I\), \(M\) thẳng hàng.

- Với \(BM\) là trung điểm của đoạn thẳng \(EF\),
- Ta có \(EM = MF\) (theo định nghĩa trung điểm).
- Vậy, chiều dài đoạn thẳng \(EF = EI + IF\),
- Suy ra, ở đây \(O\), \(I\), \(M\) thẳng hàng.

## Kết luận

Qua các phần trên, ta đã chứng minh được các mệnh đề, hoàn thành bài toán.