Để tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm bậc hai, ta sẽ dùng công thức tìm đỉnh của hàm số bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c \). Đỉnh của hàm số (và giá trị nhỏ nhất khi \( a > 0 \)) xảy ra tại điểm \( x = -\frac{b}{2a} \).

Bây giờ, ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất cho từng hàm:

### 1. Hàm \( G = 3 + x^2 + 3x \)
Đầu tiên, ta viết lại hàm:
\[ G = x^2 + 3x + 3 \]
- \( a = 1 \), \( b = 3 \)
- Tìm \( x \):
\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -\frac{3}{2}
\]
- Tính giá trị của \( G \) tại \( x = -\frac{3}{2} \):
\[
G\left(-\frac{3}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{2}\right) + 3 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 3 = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} + \frac{12}{4} = \frac{3}{4}
\]
=> Giá trị nhỏ nhất của \( G \) là \( \frac{3}{4} \).

### 2. Hàm \( H = 3x^2 + 3 - 5x \)
Viết lại:
\[ H = 3x^2 - 5x + 3 \]
- \( a = 3 \), \( b = -5 \)
- Tìm \( x \):
\[
x = -\frac{-5}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6}
\]
- Tính giá trị của \( H \):
\[
H\left(\frac{5}{6}\right) = 3\left(\frac{5}{6}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{6}\right) + 3 = 3\cdot \frac{25}{36} - \frac{25}{6} + 3
\]
Tính toán cụ thể:
\[
H\left(\frac{5}{6}\right) = \frac{75}{36} - \frac{150}{36} + \frac{108}{36} = \frac{75 - 150 + 108}{36} = \frac{33}{36} = \frac{11}{12}
\]
=> Giá trị nhỏ nhất của \( H \) là \( \frac{11}{12} \).

### 3. Hàm \( I = 4x + 2x^2 + 3 \)
Viết lại:
\[ I = 2x^2 + 4x + 3 \]
- \( a = 2 \), \( b = 4 \)
- Tìm \( x \):
\[
x = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -\frac{4}{4} = -1
\]
- Tính giá trị của \( I \):
\[
I(-1) = 2(-1)^2 + 4(-1) + 3 = 2 - 4 + 3 = 1
\]
=> Giá trị nhỏ nhất của \( I \) là \( 1 \).

### 4. Hàm \( K = 4x^2 + 3x + 2 \)
Viết lại:
\[ K = 4x^2 + 3x + 2 \]
- \( a = 4 \), \( b = 3 \)
- Tìm \( x \):
\[
x = -\frac{3}{2 \cdot 4} = -\frac{3}{8}
\]
- Tính giá trị của \( K \):
\[
K\left(-\frac{3}{8}\right) = 4\left(-\frac{3}{8}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{8}\right) + 2
\]
Tính toán:
\[
K\left(-\frac{3}{8}\right) = 4\cdot\frac{9}{64} - \frac{9}{8} + 2 = \frac{36}{64} - \frac{72}{64} + \frac{128}{64} = \frac{36 - 72 + 128}{64} = \frac{92}{64} = \frac{23}{16}
\]
=> Giá trị nhỏ nhất của \( K \) là \( \frac{23}{16} \).

### Kết quả
- Giá trị nhỏ nhất của \( G \) là \( \frac{3}{4} \)
- Giá trị nhỏ nhất của \( H \) là \( \frac{11}{12} \)
- Giá trị nhỏ nhất của \( I \) là \( 1 \)
- Giá trị nhỏ nhất của \( K \) là \( \frac{23}{16} \)

Bạn có thể so sánh các giá trị nhỏ nhất này để tìm giá trị nhỏ nhất trong số chúng.