Để giải phương trình

\[
\left( \frac{1}{3} \right)^{2x-1} - \left( \frac{1}{3} \right)^2 = -\frac{2}{27},
\]

bước đầu tiên là thay thế các số hạng trong phương trình để đơn giản hóa.

Ta có thể viết lại \( \left( \frac{1}{3} \right)^2 \) thành \( \frac{1}{9} \) và \( -\frac{2}{27} \) thành \( -\frac{2}{27} \).

Phương trình trở thành:

\[
\left( \frac{1}{3} \right)^{2x-1} - \frac{1}{9} = -\frac{2}{27}.
\]

Để cộng \(\frac{1}{9}\) vào cả hai vế, ta có:

\[
\left( \frac{1}{3} \right)^{2x-1} = -\frac{2}{27} + \frac{1}{9}.
\]

Để tính toán hiệu, ta cần đưa \(\frac{1}{9}\) về cùng mẫu:

\[
\frac{1}{9} = \frac{3}{27}.
\]

Vậy:

\[
-\frac{2}{27} + \frac{3}{27} = \frac{1}{27}.
\]

Phương trình giờ đây trở thành:

\[
\left( \frac{1}{3} \right)^{2x-1} = \frac{1}{27}.
\]

Ta biết rằng:

\[
\frac{1}{27} = \left( \frac{1}{3} \right)^3.
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
\left( \frac{1}{3} \right)^{2x-1} = \left( \frac{1}{3} \right)^3.
\]

Vì cơ số là giống nhau, ta có thể so sánh số mũ:

\[
2x - 1 = 3.
\]

Giải phương trình này, ta có:

\[
2x = 3 + 1 \\
2x = 4 \\
x = 2.
\]

Vậy nghiệm của phương trình là

\[
\boxed{2}.
\]