Tính AD. Chứng minh tam giác AED vuông cân

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước để tìm \( AD \) và chứng minh tam giác \( AED \) vuông cân.

**A) Tính \( AD \)**

1. Vì tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) và \( AB = AC = 4 \) cm, nên \( ABC \) là tam giác isosceles. Do đó, đường cao \( AD \) từ \( A \) đến cạnh \( BC \) chính là trung tuyến.

2. Sử dụng định lý Pythagore để tìm độ dài \( BC \):
- Ta có:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ cm}
\]

3. Tính độ dài \( AD \):
- Trong tam giác vuông \( ADB \) (hoặc \( ADC \)), ta có:
\[
AD = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \text{ cm}
\]

Vậy, \( AD = 2\sqrt{2} \) cm.

**B) Chứng minh tam giác \( AED \) vuông cân**

1. Để chứng minh tam giác \( AED \) vuông cân, chúng ta cần chứng minh \( AE = DE \).

2. Trong tam giác vuông \( ADB \):
- Đường cao \( AD \) chia cạnh \( BC \) thành hai đoạn bằng nhau (tính chất đường cao trong tam giác vuông).
- Do đó, \( BD = DC = \frac{BC}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \).

3. Vì \( AC = 4 \) cm và \( AD \) là một đường cao chia cạnh \( AC \) thành 2 phần, theo tính chất tam giác cân:
- Suy ra, \( AE = DE \) (Hai khoảng cách từ đỉnh tới chân đường cao theo đường thẳng thẳng).

4. Khoảng cách từ \( A \) đến \( D \) là đường trung bình. Vì \( BD = DC \) nên \( AE = DE \).

5. Như vậy, \( AED \) là tam giác vuông cân với \( \angle AED = 90^\circ \) và \( AE = DE \).

Vậy, tam giác \( AED \) vuông cân \( AE = DE \) và \( AD \) là đường cao.

Kết luận:
- \( AD = 2\sqrt{2} \) cm và tam giác \( AED \) là vuông cân.