Để chứng minh bất đẳng thức \( a^2 + b^2 \geq ab \) với mọi số thực \( a \) và \( b \), ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc phương pháp trực tiếp.

### Chứng minh:

1. **Bắt đầu từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:**
\[
(a - b)^2 \geq 0
\]

Phương trình này luôn đúng với mọi số thực \( a \) và \( b \).

2. **Mở rộng phương trình:**
\[
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \geq 0
\]

3. **Sắp xếp lại để tìm được kết quả cần chứng minh:**
\[
a^2 + b^2 - 2ab \geq 0 \quad \Rightarrow \quad a^2 + b^2 \geq 2ab
\]

4. **Từ kết quả trên, sử dụng tính chất của số dương:**
Bất đẳng thức \( 2ab \) có thể được chuyển thành \( ab \geq 0 \) (nếu \( a = b \)), do đó:
\[
a^2 + b^2 \geq ab
\]

### Kết luận:
Như vậy, cho mọi \( a \) và \( b \), ta có \( a^2 + b^2 \geq ab \), tức là bất đẳng thức đã được chứng minh.