Chúng ta sẽ chứng minh mối quan hệ giữa các đoạn thẳng AE, AB, AF, và AC trong tam giác ABC. Đây là những gì cần làm:

**Bài 32:** Cho tam giác \( ABC \) với đường cao \( AH \). Điểm \( H \) là chân đường cao từ đỉnh \( A \) xuống cạnh \( BC \). Từ \( H \), kẻ hai đường thẳng \( HE \) và \( HF \) lần lượt vuông góc với \( AB \) và \( AC \).

### a) Chứng minh rằng \( AE \cdot AB = AF \cdot AC \)

**Giải:**
Xét tam giác vuông \( AHB \) và \( AHC \):
- Trong tam giác vuông \( AHB \), theo định nghĩa của đường cao, \( A \) là đỉnh, \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).
- Ta có:
\[
AE = AH \cdot \sin(HAB)
\]
\[
AB = AH \cdot \frac{1}{\cos(HAB)}
\]
- Vậy:
\[
AE \cdot AB = (AH \cdot \sin(HAB)) \cdot (AH \cdot \frac{1}{\cos(HAB)}) = AH^2 \cdot \tan(HAB)
\]

Tương tự, trong tam giác vuông \( AHC \):
- Ta có:
\[
AF = AH \cdot \sin(HAC)
\]
\[
AC = AH \cdot \frac{1}{\cos(HAC)}
\]
- Vậy:
\[
AF \cdot AC = (AH \cdot \sin(HAC)) \cdot (AH \cdot \frac{1}{\cos(HAC)}) = AH^2 \cdot \tan(HAC)
\]

### Tổng hợp
Do \( H \) là chân đường cao, ta có \( \tan(HAB) = \frac{AH}{AB} \) và \( \tan(HAC) = \frac{AH}{AC} \). Từ đó, suy ra:
\[
AE \cdot AB = AF \cdot AC
\]

### b) Tính độ dài \( AE \) và \( BE \)

Cho biết \( AB = 4 \) cm và \( AH = 3 \) cm:
- Ta cần xác định \( AE \) và \( BE \).
- Dựa vào công thức:
\[
AE = AH \cdot \sin(HAB)
\]
\[
BE = AB - AE
\]

Ở đây, ta cần xác định \( \sin(HAB) \) để tìm ra \( AE \).

### c) Tính độ dài \( FC \)

Biết \( HAC = 30^\circ \):
- Ta có thể áp dụng:
\[
AF = AH \cdot \sin(HAC)
\]
- Từ hệ thức đã chứng minh:
\[
FC = AC - AF
\]

Như vậy bạn cần cung cấp thông tin cụ thể về góc \( HAB \) và \( AC \) để có thể tính tiếp.

Nếu có bất kỳ thông tin nào cần bổ sung, bạn hãy cho tôi biết để giúp bạn tính toán chính xác hơn!