Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BM, CN cắt nhau ở H

Để chứng minh các mệnh đề trong tam giác ABC với các đường cao BM và CN cắt nhau tại H, ta có thể tiến hành các bước như sau:

### a) Chứng minh \( A, B, H, C \) thuộc một đường tròn:

1. **Đường cao và góc:**
- BM vuông góc với AC và CN vuông góc với AB nên góc BHC = 90° + 90° = 180°.
- Điều này cho thấy B, H, C nằm trên cùng một đường tròn với đường kính BC.

2. **Góc đối đỉnh:**
- Xét các góc BHC và ABC, ta có \( BHC + ABC = 180° \) (do xét trên cùng đường tròn).

3. **Kết luận:**
- Do đó, A, B, H, C cùng thuộc một đường tròn.

### b) Chứng minh \( A, M, H, N \) thuộc một đường tròn:

1. **Điểm M và N:**
- M là chân đường cao từ A đến BC, N là chân đường cao từ B đến AC.

2. **Góc:**
- M nằm trên đoạn BH và N nằm trên đoạn AH.
- Xét các góc \( AMH \) và \( ANH \) có tổng bằng 180°, chứng tỏ điểm A, M, H, N cùng thuộc một đường tròn.

### Kết luận:
- Vậy, ta đã chứng minh được \( A, B, H, C \) và \( A, M, H, N \) thuộc hai đường tròn khác nhau.