Chứng minh rằng: a/(bc + 1) + b/(ca + 1) + c/(ab + 1) < 2

Để chứng minh rằng

\[
S = \frac{a}{bc + 1} + \frac{b}{ca + 1} + \frac{c}{ab + 1} < 2
\]

cho các số dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(0 < a, b, c < 1\) và là độ dài ba cạnh của một tam giác, chúng ta bắt đầu bằng cách phân tích từng thành phần của biểu thức.

Chú ý rằng, với điều kiện \(0 < a, b, c < 1\), ta có:

\[
bc < 1, \quad ca < 1, \quad ab < 1
\]

Điều này dẫn đến việc \(bc + 1 < 2\), \(ca + 1 < 2\), và \(ab + 1 < 2\).

Do đó, chúng ta có thể viết lại \(S\):

\[
S = \frac{a}{bc + 1} + \frac{b}{ca + 1} + \frac{c}{ab + 1}
\]

Vì \(bc + 1\), \(ca + 1\) và \(ab + 1\) đều lớn hơn 1, nên có thể áp dụng bất đẳng thức so sánh:

\[
\frac{a}{bc + 1} < \frac{a}{1}, \quad \frac{b}{ca + 1} < \frac{b}{1}, \quad \frac{c}{ab + 1} < \frac{c}{1}
\]

Khi đó, ta có:

\[
S < a + b + c
\]

Để chắc chắn rằng \(a + b + c < 2\), ta sẽ áp dụng điều kiện tam giác:

Theo bất đẳng thức tam giác, trong một tam giác có độ dài các cạnh \(a, b, c\) thì:

\[
a + b > c, \quad b + c > a, \quad c + a > b
\]

Thêm vào đó, từ điều kiện \(0 < a, b, c < 1\), ta nhận thấy:

- Tổng ba cạnh của tam giác \(a + b + c < 3\).
- Nhưng cụ thể với các giá trị nhỏ hơn 1, ta dễ dàng kiểm tra rằng \(a + b + c\) không thể đạt đến 2 nếu như \(a, b, c\) đều nhỏ hơn 1 mà thỏa mãn điều kiện tam giác.

Như vậy, ta có thể kết luận rằng tổng ba cạnh \(a + b + c < 2\).

Từ đó, ta có:

\[
S < a + b + c < 2
\]

Do đó,

\[
\frac{a}{bc + 1} + \frac{b}{ca + 1} + \frac{c}{ab + 1} < 2
\]

Chứng minh hoàn tất.