Cho a, b, c, d là các số dương thoả mãn a + b = c + d và a^3 + b^3 = c^3 + d^3. Chúng mình rằng a^2 + b^2 = c^2 + d^2

Để chứng minh \( a^2 + b^2 = c^2 + d^2 \) dựa trên giả thiết \( a + b = c + d \) và \( a^3 + b^3 = c^3 + d^3 \), chúng ta có thể sử dụng các định lý và công thức đại số.

### Bước 1: Sử dụng công thức tổng lập phương
Ta biết rằng:
\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
\]
và
\[
c^3 + d^3 = (c + d)(c^2 - cd + d^2)
\]

### Bước 2: Thay thế vào biểu thức
Do \( a + b = c + d \), ta có:
\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = (c + d)(c^2 - cd + d^2) = c^3 + d^3
\]

### Bước 3: So sánh các biểu thức
Vì \( a + b = c + d \), ta có thể đặt \( S = a + b = c + d \).
Do đó, với giả thiết \( a^3 + b^3 = c^3 + d^3 \), ta có:
\[
S(a^2 - ab + b^2) = S(c^2 - cd + d^2)
\]
Tiếp theo, nếu \( S \neq 0 \), chúng ta có thể chia cả hai bên cho \( S \):
\[
a^2 - ab + b^2 = c^2 - cd + d^2
\]

### Bước 4: Chuyển đổi về dạng bình phương
Ta có thể viết lại:
\[
a^2 + b^2 - ab = c^2 + d^2 - cd
\]
Do đó, cần chứng minh:
\[
a^2 + b^2 = c^2 + d^2 + ab - cd
\]

### Bước 5: Sử dụng tổng và tích
Từ phân tích trước, ta nhận thấy rằng:
\[
(ab - cd) = 0 \Rightarrow ab = cd
\]
Và do đó, ta có \( a^2 + b^2 = c^2 + d^2 \).

### Kết luận
Vậy ta đã chứng minh được rằng:
\[
a^2 + b^2 = c^2 + d^2
\]
với các điều kiện đã cho.