Để chứng minh rằng \( a^3b - ab^3 \) chia hết cho 6, ta sẽ phân tích biểu thức này:

\[
a^3b - ab^3 = ab(a^2 - b^2) = ab(a-b)(a+b)
\]

**Bước 1: Chứng minh rằng biểu thức chia hết cho 2.**

- Xét \( a \) và \( b \):
- Nếu cả \( a \) và \( b \) đều chẵn, thì \( ab \) chẵn.
- Nếu \( a \) và \( b \) đều lẻ, thì \( ab \) cũng là lẻ nhưng \( a^2 - b^2 \) là chẵn (vì hiệu của hai số lẻ là chẵn).
- Nếu một trong hai số \( a \) hoặc \( b \) chẵn, có nghĩa là \( ab \) chẵn.

=> Trong cả ba trường hợp, biểu thức \( ab(a-b)(a+b) \) đều chia hết cho 2.

**Bước 2: Chứng minh rằng biểu thức chia hết cho 3.**

- Xét \( a \) và \( b \) theo modulo 3:

1. Nếu \( a \equiv 0 \mod 3 \) hoặc \( b \equiv 0 \mod 3 \), thì \( ab \equiv 0 \mod 3 \).
2. Nếu \( a \equiv 1 \mod 3 \) và \( b \equiv 1 \mod 3 \), thì \( a^2 - b^2 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 3 \).
3. Nếu \( a \equiv 2 \mod 3 \) và \( b \equiv 2 \mod 3 \), thì \( a^2 - b^2 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 3 \).
4. Nếu \( a \equiv 1 \mod 3 \) và \( b \equiv 2 \mod 3 \), thì \( a^2 - b^2 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 3 \).
5. Nếu \( a \equiv 2 \mod 3 \) và \( b \equiv 1 \mod 3 \), thì \( a^2 - b^2 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 3 \).

=> Trong mọi trường hợp, \( a^3b - ab^3 \equiv 0 \mod 3 \).

**Kết luận:**

Vì \( a^3b - ab^3 \) chia hết cho 2 và cũng chia hết cho 3, nên nó chia hết cho:

\[
2 \times 3 = 6
\]

Vậy ta có thể kết luận rằng \( a^3b - ab^3 \) chia hết cho 6.