Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Kẻ HE vuông góc AB tại E và HF vuông góc AC tại F

Để giải bài toán này, ta sẽ làm từng mục trong đề bài:

### a) Chứng minh: Tứ giác AEHF là hình thang và AH = EF

- **Chứng minh tứ giác AEHF là hình thang**:
- Đặt \( \angle AHE = \angle AEF = 90^\circ \) (do HE vuông góc với AB và HF vuông góc với AC).
- Do đó, \( AE \parallel HF \) (cả hai đều vuông góc với AH).
- Từ đó, tứ giác AEHF là hình thang.

- **Chứng minh AH = EF**:
- Trong tam giác vuông AHE, \( AH \) là đường cao từ A xuống cạnh huyền HE. Tương tự, trong tam giác AHF, \( EF \) cũng là đường cao từ A xuống cạnh huyền HF.
- Theo tính chất đường cao trong tam giác vuông, ta có \( AH = EF \).

### b) Gọi I, G lần lượt là trung điểm HB và HC. Chứng minh tứ giác EFGI là hình thang vuông

- Gọi I là trung điểm của HB và G là trung điểm của HC, ta có:
- \( HI = IG \) (vì I và G là trung điểm).

- Chứng minh \( EF \parallel IG \) và \( EF \perp HI \):
- \( EF \) vuông góc với \( AH \) và do đó vuông góc với đường thẳng đi qua trung điểm I, G.
- Từ đó, ta có tứ giác EFGI là hình thang vuông với EF || IG và \( EF \perp HI \).

### c) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh AM vuông góc EF

- M là trung điểm của BC:
- Từ tính chất của trung điểm, chúng ta có \( BM = MC \).

- Chứng minh rằng AM vuông góc với EF:
- Xét tứ giác AEHF, vì \( AE \parallel HF \) và đường cao từ A tới EF là AH, suy ra AM vuông góc với EF.

### Kết luận

Tất cả các phần từ a) đến c) đều đã được chứng minh theo đúng yêu cầu của đề bài.