Để chứng minh rằng \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \) trong tam giác vuông \( ABC \) với góc \( ABC = x \), ta sẽ sử dụng các định nghĩa về các hàm lượng giác trong tam giác vuông.

Trong tam giác vuông \( ABC \), với góc \( A \) là góc vuông, ta có:

- \( AB \) là cạnh đối diện với góc \( x \) (cạnh đối với góc \( ABC \)),
- \( AC \) là cạnh kề với góc \( x \) (cạnh kề với góc \( ABC \)),
- \( BC \) là cạnh huyền (cạnh đối diện với góc vuông).

Dựa theo định nghĩa các hàm lượng giác:

- Tính \( \sin \) của góc \( x \):
\[
\sin x = \frac{\text{Cạnh đối}}{\text{Cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC}
\]

- Tính \( \cos \) của góc \( x \):
\[
\cos x = \frac{\text{Cạnh kề}}{\text{Cạnh huyền}} = \frac{AC}{BC}
\]

Bây giờ, ta tính \( \tan x \):

\[
\tan x = \frac{\text{Cạnh đối}}{\text{Cạnh kề}} = \frac{AB}{AC}
\]

Theo định nghĩa của \( \tan x \):

\[
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
\]

Chúng ta sẽ thay thế \( \sin x \) và \( \cos x \) bằng công thức mà chúng ta đã có:

\[
\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{AB}{BC}}{\frac{AC}{BC}}
\]

Khi đó, ta có thể viết lại:

\[
\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{AB \cdot BC}{AC \cdot BC} = \frac{AB}{AC}
\]

Từ đây, ta thấy rằng:

\[
\tan x = \frac{sin x}{cos x}
\]

Điều này chứng minh rằng:

\[
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
\]

Vậy là ta đã chứng minh xong!