Ta có tam giác vuông \( \triangle ABC \) với \( \angle ABC = 50^\circ \) và \( \angle ACB = 90^\circ \). Điều này cho ta \( \angle BAC = 40^\circ \).

Bây giờ, ta đặt điểm \( D \) trên \( AC \) và điểm \( E \) trên \( AB \) sao cho \( \angle EDA = 20^\circ \) và \( DE = DC \).

### Chứng minh

1. **Xác định các góc:**
- Từ \( A \), ta có \( \angle EAD = \angle CAB - \angle EDA = 40^\circ - 20^\circ = 20^\circ \).
- Do đó, \( \angle EDA = 20^\circ \) và \( DE = DC \) tạo thành hai tam giác \( \triangle ADE \) và \( \triangle ACD \).

2. **Tam giác là đồng dạng:**
- Ta có \( \triangle ADE \sim \triangle ADC \) (góc góc, vì \( \angle EAD = \angle CAD \) và \( \angle ADE = \angle ACD \)).
- Do đó, tỷ lệ các cạnh tương ứng là:
\[
\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AD}
\]
Dễ dàng suy ra rằng \( AE = \frac{AD \cdot AC}{AD} \).

3. **Tính chiều dài:**
- Do \( DE = DC \), ta có: \( BD = AD + DC \).
- Xét \( D \) trên \( AC \), với \( DE = DC \), ta có:
\[
BD = AD + AD = 2AD.
\]

Do đó, ta có \( BD = 2AD \), hoàn tất chứng minh.