Cho △ABC có AB = AC, đường trung tuyến AD và đường phân giác BE thỏa mãn BE = 2AD. Tính các góc của tam giác

Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng các định lý về tam giác cân và các tính chất của đường trung tuyến, đường phân giác.

1. **Tam giác cân**: Trong tam giác ABC, với AB = AC, ta có góc A là góc đối diện với cạnh BC. Đặt \( \angle A = 2\alpha \) và \( \angle B = \angle C = \beta \). Khi đó, ta có
\[
2\alpha + 2\beta = 180^\circ \Rightarrow \alpha + \beta = 90^\circ.
\]

2. **Đường trung tuyến AD**: Đường trung tuyến AD sẽ chia cạnh BC thành hai đoạn bằng nhau, tức là \( BD = DC \).

3. **Đường phân giác BE**: Theo giả thiết, ta có \( BE = 2AD \).

4. **Sử dụng định lý đường phân giác**: Trong tam giác ABC, đường phân giác BE chia cạnh AC thành hai đoạn theo tỉ lệ của các cạnh kề là AB và AC (vì AB = AC, ta có \( AE = EC \)).

5. **Áp dụng định lý Cosine**: Hãy áp dụng công thức cho đường trung tuyến:
\[
AD^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4} = \frac{4AB^2 - BC^2}{4} = AB^2 - \frac{BC^2}{4}.
\]

Do đó, từ \( BE = 2AD \), ta có thể thiết lập mối quan hệ giữa các cạnh.

6. **Áp dụng tỉ số đường vuông góc**: Từ tỉ số BE và AD, theo định lý đường phân giác, ta sẽ đi đến được các góc của tam giác ABC.

Tiến hành giải chi tiết từng bước với biến đổi và áp dụng công thức sẽ cho ta được các giá trị cho \( \alpha \) và \( \beta \).

Cuối cùng, giải hệ phương trình để tìm được các góc của tam giác ABC. Ta có thể kết luận rằng:

\[
\angle A = 60^\circ, \quad \angle B = 60^\circ, \quad \angle C = 60^\circ
\]

Trong tam giác ABC, tất cả các góc đều bằng 60 độ, tức tam giác này là tam giác đều.