Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm \( C = x^2 + xy + y^2 - 3x - 3y \), ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm.

**Bước 1: Tính đạo hàm riêng theo \( x \) và \( y \)**

1. Đạo hàm riêng theo \( x \):
\[
\frac{\partial C}{\partial x} = 2x + y - 3
\]

2. Đạo hàm riêng theo \( y \):
\[
\frac{\partial C}{\partial y} = x + 2y - 3
\]

**Bước 2: Giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0**

Tìm \( x \) và \( y \) thỏa mãn:
\[
2x + y - 3 = 0 \quad (1)
\]
\[
x + 2y - 3 = 0 \quad (2)
\]

**Giải hệ phương trình:**

Từ phương trình (1):
\[
y = 3 - 2x
\]

Thay vào phương trình (2):
\[
x + 2(3 - 2x) - 3 = 0
\]
\[
x + 6 - 4x - 3 = 0
\]
\[
-3x + 3 = 0 \implies x = 1
\]

Thay \( x = 1 \) vào (1) để tìm \( y \):
\[
2(1) + y - 3 = 0 \implies 2 + y - 3 = 0 \implies y = 1
\]

Vậy điểm cực trị là \( (x, y) = (1, 1) \).

**Bước 3: Tính \( C \) tại điểm \( (1, 1) \)**

Tính giá trị của \( C \) tại \( (1, 1) \):
\[
C(1, 1) = 1^2 + 1 \cdot 1 + 1^2 - 3 \cdot 1 - 3 \cdot 1
\]
\[
= 1 + 1 + 1 - 3 - 3 = 1 - 6 = -5
\]

**Bước 4: Kiểm tra tính chất của điểm cực trị**

Tính hạng của ma trận Hessian:
\[
H = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 C}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 C}{\partial x \partial y} \\
\frac{\partial^2 C}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 C}{\partial y^2}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{pmatrix}
\]

Tính định thức của Hessian:
\[
\text{det}(H) = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 4 - 1 = 3 > 0
\]

Vì \( \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} = 2 > 0 \) và định thức của ma trận Hessian dương, nên hàm \( C \) có cực tiểu tại điểm \( (1, 1) \).

**Kết quả:**
Giá trị nhỏ nhất của hàm \( C \) là \( -5 \) tại điểm \( (1, 1) \).