Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( C = x^2 + xy + y^2 - 3x - 3y \), chúng ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm.

Đầu tiên, chúng ta sẽ tìm điểm cực trị bằng cách tính đạo hàm riêng theo \( x \) và \( y \) và giải các phương trình đạo hàm bằng 0.

1. **Tính đạo hàm riêng theo \( x \):**

\[
\frac{\partial C}{\partial x} = 2x + y - 3
\]

2. **Tính đạo hàm riêng theo \( y \):**

\[
\frac{\partial C}{\partial y} = x + 2y - 3
\]

3. **Thiết lập hệ phương trình bằng 0:**

\[
\begin{cases}
2x + y - 3 = 0 \quad (1) \\
x + 2y - 3 = 0 \quad (2)
\end{cases}
\]

Bây giờ chúng ta sẽ giải hệ phương trình này.

Từ phương trình (1), ta có:
\[
y = 3 - 2x
\]

Thay \( y \) vào phương trình (2):
\[
x + 2(3 - 2x) - 3 = 0
\]

Giải phương trình này:
\[
x + 6 - 4x - 3 = 0 \\
-3x + 3 = 0 \\
3x = 3 \\
x = 1
\]

Thay giá trị \( x = 1 \) vào phương trình (1) để tìm \( y \):
\[
2(1) + y - 3 = 0 \\
2 + y - 3 = 0 \\
y = 1
\]

Vậy chúng ta tìm được điểm cực trị \( (1, 1) \).

4. **Tính giá trị của C tại điểm cực trị:**
\[
C(1, 1) = 1^2 + 1 \cdot 1 + 1^2 - 3 \cdot 1 - 3 \cdot 1 \\
= 1 + 1 + 1 - 3 - 3 = -3
\]

5. **Phân loại cực trị:**
Để phân loại các cực trị, ta tính ma trận Hessian \( H \):
\[
H =
\begin{bmatrix}
\frac{\partial^2 C}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 C}{\partial x \partial y} \\
\frac{\partial^2 C}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 C}{\partial y^2}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{bmatrix}
\]

Tính định thức của Hessian:
\[
\det(H) = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 4 - 1 = 3
\]

Vì \( \det(H) > 0 \) và \( H_{11} = 2 > 0 \), nên hàm \( C \) đạt cực tiểu tại \( (1, 1) \).

**Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của \( C \) là:**
\[
\boxed{-3}
\]