Để so sánh hai phân số A và B, trước tiên ta sẽ tính giá trị của từng phân số.

**Bước 1: Tính A**

Phân số A được định nghĩa như sau:

\[ A = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{128} + \frac{1}{256} \]

Đây là một cấp số nhân với tổng các số hạng là:

\[ A = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \left(\frac{1}{2}\right)^4 + \left(\frac{1}{2}\right)^5 + \left(\frac{1}{2}\right)^6 + \left(\frac{1}{2}\right)^7 \right) \]

Số hạng đầu (a) là 1 và tỷ số (r) là \(\frac{1}{2}\). Tổng của dãy số hạng 8 là:

\[ S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} = 1 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^8}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - \frac{1}{256}}{\frac{1}{2}} = 2 \left( 1 - \frac{1}{256} \right) = 2 \cdot \frac{255}{256} = \frac{510}{256} = \frac{255}{128} \]

Vậy nên,

\[ A = \frac{1}{2} \cdot \frac{255}{128} = \frac{255}{256} \]

**Bước 2: Tính B**

Phân số B được định nghĩa như sau:

\[ B = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + \frac{1}{243} + \frac{1}{729} \]

Tương tự, đây cũng là một cấp số nhân với số hạng đầu (a) là \(\frac{1}{3}\) và tỷ số (r) là \(\frac{1}{3}\).

Tổng của dãy này với 6 số hạng là:

\[ S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \left( \frac{1}{3} \right)^6}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \frac{1}{729}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \left( 1 - \frac{1}{729} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{728}{729} \right) = \frac{364}{729} \]

**Bước 3: So sánh A và B**

Bây giờ ta có:

\[ A = \frac{255}{256} \]
\[ B = \frac{364}{729} \]

Để so sánh hai phân số này, ta quy đồng mẫu số.

Mẫu số chung của 256 và 729 là \( 256 \cdot 729 \). Ta có:

\[ A = \frac{255 \cdot 729}{256 \cdot 729} = \frac{186195}{186624} \]
\[ B = \frac{364 \cdot 256}{729 \cdot 256} = \frac{93,184}{186624} \]

Cuối cùng so sánh:

\[ 186195 < 186624 \]

Vậy:

\[ A < B \]

**Kết luận:** \( A < B \).