Để chứng minh các yêu cầu trong bài tập hình học, ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành cũng như các định lý liên quan đến các đoạn thẳng.

### a) Chứng minh AM = CN và tứ giác AMC = Hình bình hành

1. **Tính chất hình bình hành:**
- Trong hình bình hành ABCD, ta có \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \).
- Vì M và N là trung điểm của các đoạn AB và CD, nên \( AM = MB \) và \( CN = ND \).

2. **Mối quan hệ giữa các đoạn thẳng:**
- Ta có:
\[
AM + MB = AB = CN + ND
\]
Suy ra:
\[
AM + MB = CN + ND
\]
- Tổng hợp các đoạn thẳng lại, ta có:
\[
AM + CN = MB + ND
\]
- Với \( MB = ND \) thì \( AM = CN \).

3. **Chứng minh tứ giác AMC là hình bình hành:**
- Xét hai đoạn thẳng \( AM \) và \( CN \) vừa chứng minh là bằng nhau.
- Xét các đoạn vẽ liên tiếp, \( AN \) và \( CM \) cắt nhau tại điểm E.
- Theo tính chất của đường chéo trong hình bình hành, ta có \( AE = CE \) và \( ME = NE \).
- Do đó, tứ giác AMC có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song, suy ra tứ giác AMC là hình bình hành.

### b) Chứng minh F là trung điểm của BE và E là trung điểm của DF

1. **Xét điểm F:**
- Ta có các đường chéo BD và CE cắt nhau tại F.
- Bởi vì AMC là hình bình hành, nên hai đường nối ME và NE cũng chia đoạn BE thành hai phần bằng nhau, tức là:
\[
EF = FB
\]
- Do đó, F là trung điểm của BE.

2. **Xét điểm E:**
- Tương tự, vì tứ giác AMC là hình bình hành, ta có CN = AM đã chứng minh.
- Đường chéo CD và AB cắt nhau tại E, nên \( DE = EF \).
- Suy ra E là trung điểm của DF.

Kết luận lại, ta đã chứng minh được hai phần yêu cầu của bài tập.

1. AM = CN và tứ giác AMC là hình bình hành.
2. F là trung điểm của BE và E là trung điểm của DF.