Để chứng minh các điều cần thiết trong bài toán này, ta sẽ tiến hành như sau:

**a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.**

1. **Xét hai đoạn thẳng MO và OP:**
- Tứ giác ABCD là hình bình hành, nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.
- Do d1 cắt AB tại M và CD tại P, ta có MO // AP (vì AB // CD) và OB // PM (vì OA // PC), điều này dẫn đến MO = OP.

2. **Xét hai đoạn thẳng NO và OQ:**
- Tương tự, do d2 cắt BC tại N và AD tại Q, ta có NO // AQ (vì BC // AD) và ON // PQ (vì OB // PD), dẫn đến NO = OQ.

Từ đó, ta thấy:
- Các cặp cạnh đối diện (MN và PQ) bằng nhau và song song.
- Các cặp cạnh đối diện (NP và MQ) cũng bằng nhau và song song.

=> Tứ giác MNPQ là hình bình hành.

**b) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.**

1. **Lý thuyết về góc:**
- Ta đã biết d1 ⊥ d2, nên góc MON = 90° và góc OPQ = 90°.
- Vì MNPQ là hình bình hành, các góc đối diện bằng nhau.
- Do đó, góc MNQ = góc OMP và góc MPQ = góc NMQ.

2. **Chứng minh độ dài các cạnh:**
- Từ các kết quả ở phần a), ta thấy MO = OP và NO = OQ.
- Với d1 ⊥ d2, các đoạn MNPQ tạo thành hai cặp cạnh vuông góc.

Khi có các cạnh đối diện bằng nhau và góc vuông tại các đỉnh, suy ra:
- Tứ giác MNPQ có tất cả các cạnh bằng nhau.

=> Tứ giác MNPQ là hình thoi.

Kết luận, tứ giác MNPQ vừa là hình bình hành lại vừa là hình thoi.