Để tính giá trị của các biểu thức trong bài tập này, chúng ta sẽ thay giá trị của \( x \) và \( y \) vào các công thức.

### a) Tính \( N = x^2 - 10x + 25 \) tại \( x = 55 \):

1. **Thay giá trị vào biểu thức:**
\[
N = 55^2 - 10 \cdot 55 + 25
\]

2. **Tính từng phần:**
- \( 55^2 = 3025 \)
- \( 10 \cdot 55 = 550 \)

3. **Thay vào biểu thức:**
\[
N = 3025 - 550 + 25
\]
\[
N = 3025 - 550 = 2475
\]
\[
N = 2475 + 25 = 2500
\]

Vậy, \( N = 2500 \).

### b) Tính \( P = -\frac{x^4}{4} - x^2y + y^2 \) tại \( x = 4 \) và \( y = \frac{1}{2} \):

1. **Thay giá trị vào biểu thức:**
\[
P = -\frac{4^4}{4} - 4^2 \cdot \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^2
\]

2. **Tính từng phần:**
- \( 4^4 = 256 \)
- \( -\frac{256}{4} = -64 \)
- \( 4^2 = 16 \)
- \( 16 \cdot \frac{1}{2} = 8 \)
- \( \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \)

3. **Thay vào biểu thức:**
\[
P = -64 - 8 + \frac{1}{4}
\]
\[
P = -72 + \frac{1}{4} = -\frac{288}{4} + \frac{1}{4} = -\frac{287}{4}
\]

4. **Chuyển đổi sang dạng hỗn số:**
- Khi chia -287 cho 4, ta được -72.75 hoặc -72 \( \frac{3}{4} \).

Vậy, \( P = -72 \frac{3}{4} \) hay có thể viết là \( P = -\frac{287}{4} \) (tương đương \( \frac{225}{9} \)) nếu so sánh các hình thức biểu diễn.

### Kết luận:
- \( N = 2500 \)
- \( P = -\frac{287}{4} \) hoặc \( P = \frac{225}{9} \) tùy theo cách biểu diễn.