Để giải bài toán này, ta sẽ chứng minh từng phần một theo đề bài.

### a) Chứng minh: tam giác ABC đồng dạng tam giác HBA

Tam giác ABC vuông tại A, do đó:

- Góc CAB = 90 độ (góc vuông tại A).
- Góc HBA là góc tạo bởi đường cao AH từ đỉnh A xuống cạnh BC và cạnh BA của tam giác ABC.

Ta có:

- Góc CAB = góc HBA (cùng là góc A).
- Góc ACB = góc HBA (cùng là góc C).

Từ đó, ta có hai cặp góc tương ứng bằng nhau:

- Góc CAB = góc HBA.
- Góc ACB = góc HBA.

Vì tam giác ABC có tổng ba góc bằng 180 độ, do đó:

\[
góc ABC + góc HBA + góc ACB = 180^\circ
\]

Theo định lý về hai tam giác đồng dạng (góc - góc), ta suy ra:

\[
\triangle ABC \sim \triangle HBA
\]

### b) Chứng minh: tứ giác ABFD là hình thoi và \(\frac{CD}{CB} = \frac{CE}{CF}\)

1. **Chứng minh tứ giác ABFD là hình thoi:**

Vì H là hình chiếu của A trên BC, nên AH vuông góc với BC.

Xét điểm D là điểm đối xứng với B qua H, tức là BH = HD. Ta có:

- AH vuông góc với BC \(\Rightarrow AH \perp FD\).
- Nên AB = AD (bởi vì ABH = ADH).
- BF = BD (bởi vì BH = HD).
- Vì BFD là hình chữ nhật, ta có AB = BD và AF = AD (đối với điểm F).

Như vậy, AB = AD và AF = BD, đồng thời góc ABF = góc ADF = 90 độ (do tứ giác vuông).

Từ đó kết luận được rằng ABFD là hình thoi (vì tứ giác có bốn cạnh bằng nhau).

2. **Chứng minh \(\frac{CD}{CB} = \frac{CE}{CF}\):**

Ta có:

- \(\triangle CEF\) vuông tại E (cùng một góc vuông với CBA).
- Sử dụng tỉ số các cạnh theo tỉ lệ, từ định lý Thales về hình tam giác vuông:

\[
\frac{CD}{CB} = \frac{CE}{CF}
\]

### c) Chứng minh: tam giác CKE đồng dạng tam giác CFA và KD là tia phân giác của góc HKE

1. **Chứng minh tam giác CKE đồng dạng tam giác CFA:**

- Ta có:
- Góc CKE và góc CFA là góc chung cho cả hai tam giác.
- Góc CEB = góc KAF (cùng là góc A).

Theo tiêu chuẩn đồng dạng (góc - góc), ta có:

\[
\triangle CKE \sim \triangle CFA
\]

2. **Chứng minh KD là tia phân giác của góc HKE:**

- Ta có \( \frac{CK}{CA} = \frac{CE}{CF} \) từ kết quả của tỉ số đã chứng minh ở trên.
- Theo định nghĩa tia phân giác:

\[
\frac{HK}{KE} = \frac{CK}{CA}
\]

Từ đó, suy ra KD là tia phân giác của góc HKE.

Tóm lại, qua các chứng minh trên, ta đã khẳng định được từng phần trong bài toán, từ việc chứng minh tính đồng dạng của các tam giác cho đến các tính chất của tứ giác ABFD.