Cho tam giác ABC và 3 đường trung tuyến AD, BE, BF. Qua F, kẻ đường song song với BE cắt DE kéo dài tại G. Chứng minh: BEGF là hình bình hành

Để chứng minh rằng BEGF là hình bình hành, chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa về hình bình hành, đó là một tứ giác có các cặp cạnh đối song song.

1. **Xác định các đường trung tuyến**:
- AD, BE, và CF là các đường trung tuyến của tam giác ABC, trong đó D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, và AB.

2. **Tính chất các đường trung tuyến**:
- Theo định nghĩa, BE là đường trung tuyến, vì vậy nó chia AC thành hai đoạn có độ dài bằng nhau. Tương tự, CF cũng là đường trung tuyến, chia AB thành hai đoạn bằng nhau.

3. **Kẻ đường song song**:
- Qua điểm F, ta kẻ đường thẳng song song với BE, cắt DE kéo dài tại G. Theo giả thiết, EF song song với BE.

4. **Chứng minh BE song song với GF**:
- Bởi vì GF là đường thẳng kẻ song song với BE nên GF sẽ không giao nhau với BE, và cả hai đều nằm trong mặt phẳng.

5. **Chứng minh EF song song với BG**:
- Để chứng minh EF song song với BG, chúng ta cần quan sát rằng:
- Từ điểm F, chúng ta có DE là nối tiếp điểm D tới E, và G nằm trên DE.
- Do đó, DE sẽ không thay đổi góc và EF song song với BE dẫn đến EF cũng song song với BG nếu chúng ta kéo dài BG ra phía ngoài.

6. **Kết luận**:
- Chúng ta đã chỉ ra rằng BE song song với GF và EF song song với BG. Điều này thỏa mãn điều kiện để tứ giác BEGF là một hình bình hành, vì các cặp cạnh đối song song với nhau.

Do đó, tứ giác BEGF là hình bình hành.