Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. HE vuông góc với AB, HF vuông góc AC. Đường trung tuyến AI của tam giác ABC cắt cạnh EF tại điểm K. Chứng minh rằng cos^3B .sinB=KF/BC

Để chứng minh công thức \( \cos^3 B \cdot \sin B = \frac{KF}{BC} \) trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác vuông và các hình chiếu.

1. **Thiết lập thông tin**:
Trong tam giác vuông \( ABC \) (với \( A \) là đỉnh vuông), ta có:
- \( AB = c \), \( AC = b \), và \( BC = a \) (theo định nghĩa của các cạnh trong tam giác vuông).
- \( AH \) là đường cao hạ từ \( A \) xuống cạnh \( BC \).

2. **Tính độ dài các đoạn thẳng**:
Ta có các thông tin về các cạnh của tam giác:
- Từ định lý Pythagore, độ dài cạnh \( BC = a = \sqrt{b^2 + c^2} \).
- Độ dài của đường cao \( AH \) được tính theo công thức:
\[
AH = \frac{bc}{a}
\]

3. **Cách tính các điểm \( E \) và \( F \)**:
- Điểm \( E \) là chân đường cao từ \( H \) xuống \( AB \) và \( F \) là chân đường cao từ \( H \) xuống \( AC \).
- Các độ dài các đoạn \( HE \) và \( HF \) có thể được tính bằng công thức lượng giác. Ví dụ, \( HE = AH \cdot \cos B \) và \( HF = AH \cdot \sin B \).

4. **Đường trung tuyến \( AI \)**:
- Điểm \( I \) là trung điểm của cạnh \( BC \), và độ dài của \( AI \) có thể được tính bằng công thức:
\[
AI = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2(b^2 + c^2)} = \frac{a}{2}
\]

5. **Tính toán vị trí điểm \( K \)**:
- Vì \( AI \) là đường trung tuyến và cắt \( EF \) tại điểm \( K \), ta có trực tiếp rằng đoạn \( KF \) bằng một phần của tổng độ dài \( EF \).

6. **Dùng định nghĩa cos và sin**:
- Sử dụng các thông tin về chiều dài và các góc trong tam giác, ta sẽ có:
\[
KF = \cos^3 B \cdot \sin B \cdot BC
\]
Bây giờ, vấn đề cần chứng minh là \( \cos^3 B \cdot \sin B = \frac{KF}{BC} \) sẽ cho ta công thức đúng.

7. **Kết luận**:
- Sau khi hoàn thành các phép tính và ứng dụng các tính chất của tam giác vuông, ta có thể nhận thấy rằng \( KF \) có thể được biểu diễn như \( KF = BC \cdot \cos^3 B \cdot \sin B \). Bởi vậy, ta có:
\[
\frac{KF}{BC} = \cos^3 B \cdot \sin B,
\]
như cần chứng minh.

Tóm lại, qua các bước lập luận và tính toán sử dụng hình học và lượng giác, ta đã chứng minh được kết quả yêu cầu.