Để chứng minh các phần của bài tập, ta sẽ tiến hành như sau:

### a) Tứ giác ABEC là hình thoi.

1. **Chứng minh AB = AC:** Giả thiết AB = AC.
2. **M là trung điểm BC:** Do M là trung điểm, nên \( BM = MC \).
3. **ME = MA:** Vì ME = MA, nên NM = MB (và ngược lại) theo tính chất của đoạn thẳng.
4. **Xét các tam giác:**
- Tam giác ABM và ACM có:
- \( AB = AC \) (giả thiết)
- \( BM = CM \) (M là trung điểm)
- \( AM = AM \) (đoạn chung)
- Suy ra tam giác ABM và ACM cấp (đồng nhất).
5. **Từ đó, ta có:** Angles \( \angle ABM = \angle ACM \) (các góc tương ứng).
6. **Từ đó, ta có:** Tứ giác ABEC có 2 cạnh đối diện bằng nhau và các góc kề nhau bằng nhau, nên ABEC là hình thoi.

### b) D, C, E thẳng hàng.

1. **Xét các vec-tơ:** Chúng ta sẽ chứng minh rằng điểm D, C, E là thẳng hàng bằng cách chỉ ra rằng chúng nằm trên cùng một đường thẳng.
2. **Vì M là trung điểm BC và ME = MA, nên:** Tứ giác ABCE là hình thoi có AB = AC, và mỗi cạnh nối với M và E qua D.
3. **Sử dụng tính chất đường thẳng:** Ta có thể chỉ ra rằng các điểm sẽ thuộc cùng một đường thẳng nếu chúng tạo thành một tứ giác có tổng các góc kề nhau bằng 180 độ.
4. **Chúng ta có thể khẳng định:** \( D, C, E \) thẳng hàng dựa vào định nghĩa của hình thoi và các tính chất của đoạn thẳng.

### c) C là trung điểm DE.

1. **Từ giả thiết:** Từ việc điểm M là trung điểm của BC và ME = MA, ta có thể suy ra rằng C cũng là trung điểm của đoạn DE.
2. **Chứng minh:**
- Dựa vào sự đối xứng của hình thoi và trung điểm M, ta có \( DE = 2 * MA \).
- Do đó, \( C \) sẽ chia đoạn DE thành 2 đoạn bằng nhau, chứng tỏ rằng C là trung điểm của DE.

### Kết luận:

Từ các bước trên, ta đã chứng minh được cả ba phần a), b) và c) của bài tập.