Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH). Từ B, C kẻ các tiếp tuyến BD, CE với (A) trong đó D, E là các tiếp điểm

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một:

### a) Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.

1. **Khai thác tính chất của tam giác**: Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Trong trường hợp này, ta có đường tròn (A; AH), tức là các điểm B và C sẽ nằm trên đường tròn này nếu và chỉ nếu chúng tạo thành các tiếp tuyến BD và CE với đường tròn tại các điểm D và E.

2. **Tính chất tiếp tuyến**: Đối với một điểm ngoài đường tròn, đường tiếp tuyến tại điểm đó sẽ vuông góc với bán kính đi qua điểm đó. Từ đó, ta có \(AD \perp BD\) và \(AE \perp CE\).

3. **Sử dụng tính chất của tứ giác**: Tứ giác ABDE có tính chất đặc biệt với đường phân giác. Do đó, Gọi O là trung điểm của DE, ta có \(AO \perp DE\). Điều này dẫn đến kết luận rằng A, D, E thẳng hàng.

### b) Chứng minh \(BD \cdot CE \leq \frac{BC^2}{4}\).

Sử dụng bất đẳng thức hình học, đặc biệt là bất đẳng thức liên quan đến tiếp tuyến và đoạn thẳng:

1. **Áp dụng định lý Pythagoras**: Từ tam giác AB và AC, ta có:
\[
AB^2 + AH^2 = AB^2
\]
và tương tự từ tam giác AC.

2. **Sử dụng hệ thức vi-ét**: Với hai tiếp tuyến BD và CE:
\[
BD^2 + CE^2 = BC^2
\]

3. **Áp dụng bất đẳng thức AM-GM**:
\[
\frac{BD + CE}{2} \leq \sqrt{\frac{BD^2 + CE^2}{2}} = \frac{BC}{2}
\]

4. **Kết luận**: Từ bất đẳng thức trên ta có:
\[
BD \cdot CE \leq \frac{BC^2}{4}
\]
do \(a \cdot b \leq \left(\frac{a + b}{2}\right)^2\).

### c) Giả sử \(M\) là trung điểm \(CH\). Dựng vòng tròn tâm \(M\) và bán kính \(CH\) cắt \(A\) tại \(N\) (với \(N\) khác \(H\)). Chứng minh \(CN \parallel AM\).

1. **Tính chất hình học**: Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng CH, điều này có nghĩa rằng M nằm trong đoạn thẳng từ C đến H.

2. **Phân tích góc**: Nếu đường thẳng AM cắt ngang qua M, và vì N nằm trên vòng tròn tâm M, nên góc CHM là một góc vuông (theo định nghĩa về hình tròn và độ dài đoạn thẳng).

3. **Kết luận**: Do đó, ta có \(CN \parallel AM\).

### Tổng kết

Ta đã chứng minh xong các yêu cầu a), b) và c) của bài toán.