Chọn phương trình: 2x^2 + 2mx + m^2 - 2 = 0

Để giải phương trình \(2x^2 + 2mx + m^2 - 2 = 0\), chúng ta cần tìm nghiệm của nó. Đầu tiên, đối với một phương trình bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\), nghiệm được tính bằng công thức:

\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong trường hợp này, ta có:

- \(a = 2\)
- \(b = 2m\)
- \(c = m^2 - 2\)

### a) Tìm hệ thức liên hệ giữa \(x_1\) và \(x_2\)

Theo định lý Viète, ta có:
- Tổng các nghiệm: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2m}{2} = -m\)
- Tích các nghiệm: \(x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m^2 - 2}{2}\)

### b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\)

Biểu thức được cho là:

\[
A = \frac{2x_1x_2 + 3}{x_1^2 + x_2^2 + 2(x_1x_2 + 1)}
\]

Để tính toán biểu thức này, ta cần tính \(x_1^2 + x_2^2\):

\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-m)^2 - 2\left(\frac{m^2 - 2}{2}\right)
\]
\[
= m^2 - (m^2 - 2) = 2
\]

Vậy biểu thức \(A\) trở thành:

\[
A = \frac{2x_1x_2 + 3}{2 + 2(x_1x_2 + 1)} = \frac{2x_1x_2 + 3}{2 + 2(\frac{m^2 - 2}{2} + 1)} = \frac{2x_1x_2 + 3}{m^2 + 2}
\]

Từ đây, bạn có thể tiếp tục nghiên cứu để tìm giá trị nhỏ nhất của \(A\) dựa vào các giá trị của \(m\).