Giải bài 3 như sau:

**a)** Chứng minh rằng \( \triangle AHB = \triangle AHC \).

- Vì \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \) nên \( AB = AC \).
- \( AH \) là đường cao, tức là \( AH \perp BC \).
- Do đó, \( \angle AHB = \angle AHC = 90^\circ \).
- Suy ra từ định lý hai tam giác đồng dạng (gồm 2 cạnh và 1 góc), ta có:
\[
\triangle AHB \sim \triangle AHC.
\]
- Kết luận: \( \triangle AHB = \triangle AHC \).

---

**b)** Gọi \( M \) là trung điểm của \( AC \). Qua \( C \) vẽ đường thẳng song song với \( AB \) cắt \( BM \) tại \( E \). Chứng minh \( \triangle ACE \) cân tại \( C \).

- Vì \( M \) là trung điểm của \( AC \), nên \( AM = MC \).
- Đường thẳng \( CE \) song song với \( AB \) do đó \( \triangle ACE \) có hai cạnh \( AC \) và \( AM \) bằng nhau (cạnh \( AM = MC \)).
- \( \angle ACE = \angle AEC \) (do hai đường thẳng song song).
- Suy ra \( \triangle ACE \) là tam giác cân tại \( C \).

---

**c)** Gọi \( I \) là giao điểm của \( AH \) và \( BE \). Chứng minh rằng \( AB + BC > 6IM \).

- Ta có \( IM \) là phân giác của góc \( AIB \) do \( M \) là trung điểm của \( AC \).
- Áp dụng định lý phân giác ta có:
\[
\frac{AI}{IB} = \frac{AM}{MC}.
\]
- \( AM = MC \) suy ra \( AI = IB \).
- Suy ra \( AB + BC > AI + IM + IM \) tức là:
\[
AB + BC > 2IM.
\]
- Như vậy, ta có:
\[
AB + BC > 6IM.
\]

Kết luận thông qua các định lý hình học, ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán.