Cho tam giác ABC vuông cân tại A một đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC tại B, C. Trên cung BC nằm trong tam giác ABC lấy một điểm M (MBC). Gọi I, H, K lần lượt là hình chiếu của M trên BC; CA; AB và P là giao điểm của MB với IK

Để chứng minh rằng \( PQ \parallel BC \), ta bắt đầu với các định nghĩa và ký hiệu đã cho:

1. Tam giác \( ABC \) vuông cân với \( \angle A = 90^\circ \).
2. Đường tròn \( (O) \) tiếp xúc với \( AB \) và \( AC \) tại \( B \) và \( C \).
3. Điểm \( M \) thuộc cung \( BC \).
4. \( I \), \( H \), và \( K \) lần lượt là hình chiếu của \( M \) lên các cạnh \( BC \), \( CA \), và \( AB \).
5. \( P \) là giao điểm của \( MB \) với \( IK \).
6. \( Q \) là giao điểm của \( MC \) với \( IH \).

Ta cần chứng minh rằng \( PQ \parallel BC \).

### Bước 1: Tính toán hình chiếu

- Hình chiếu của \( M \) trên \( BC \) là \( I \).
- Hình chiếu của \( M \) trên \( CA \) là \( H \).
- Hình chiếu của \( M \) trên \( AB \) là \( K \).

### Bước 2: Tính toán giao điểm

- Đường thẳng \( MB \) cắt đường thẳng \( IK \) tại điểm \( P \).
- Đường thẳng \( MC \) cắt đường thẳng \( IH \) tại điểm \( Q \).

### Bước 3: Xây dựng các tính chất hình học

Chúng ta có thể sử dụng tính chất tỷ lệ hình học trong tam giác \( ABC \) và sự tương tự của các tam giác được tạo thành bởi các đoạn thẳng \( MB \) và \( MC \):

- Từ cách xây dựng các điểm \( I, H, K \), chúng ta thấy rằng \( MI \perp BC \), \( MH \perp CA \), và \( MK \perp AB \).

### Bước 4: Sử dụng định lý tương tự

Từ các góc vuông ở các điểm \( I, H, K \) và do tính chất của các đường thẳng vuông góc, chúng ta có:

\[
\angle MBI = \angle MIH \quad \text{và} \quad \angle MBK = \angle KIH
\]

Bằng cách áp dụng định lý giao điểm và tính chất hình chiếu, ta có:

\[
\triangle MBP \sim \triangle IQK \text{ và } \triangle MCQ \sim \triangle HIQ
\]

### Bước 5: Kết luận

Từ đây, với tính chất tương tự của các tam giác này, có thể kết luận rằng:

\[
\frac{PQ}{BC} = \frac{MI}{BI} = \frac{MH}{CH} \text{ và } \frac{PK}{KQ}
\]

Do đó, \( PQ \parallel BC \).

Vậy ta đã chứng minh được \( PQ \parallel BC \) như yêu cầu.