Giải phương trình sau

Để giải phương trình:

\[
x^2 + 3x - \log_3 \left( \frac{x^2 + x + 3}{x^2 + 2x + 2} \right) = \log_6 6
\]

Đầu tiên, nhận xét rằng \( \log_6 6 = 1 \). Vậy ta có:

\[
x^2 + 3x - \log_3 \left( \frac{x^2 + x + 3}{x^2 + 2x + 2} \right) = 1
\]

Chuyển 1 sang bên trái, ta có:

\[
x^2 + 3x - 1 - \log_3 \left( \frac{x^2 + x + 3}{x^2 + 2x + 2} \right) = 0
\]

Để giải phương trình này, trước tiên tính giá trị của biểu thức \( \frac{x^2 + x + 3}{x^2 + 2x + 2} \). Giả sử \( y = \frac{x^2 + x + 3}{x^2 + 2x + 2} \), phương trình trở thành:

\[
x^2 + 3x - 1 - \log_3(y) = 0
\]

Phương trình này khá phức tạp để giải trực tiếp. Ta nên thiết lập một giá trị cụ thể cho \( y \) theo \( x \) và sau đó giải.

Ta cần tìm nghiệm cho \( y \) sao cho bền:

1. \( y > 0 \) để \(\log_3(y)\) xác định.
2. \( x^2 + 2x + 2 > 0 \) (điều này luôn đúng với mọi x vì Delta của biểu thức này âm).

Từ đó có thể cần sử dụng phương pháp thử (hoặc đồ thị) để tìm nghiệm x. Hãy thử các giá trị nguyên trước:

- Với \( x = 0 \):
\[
0^2 + 3(0) - 1 - \log_3 \left( \frac{3}{2} \right) = -1 - \log_3 \left( \frac{3}{2} \right)
\]
- Với \( x = 1 \):
\[
1^2 + 3(1) - 1 - \log_3 \left( \frac{5}{5} \right) = 3 \quad (đã tìm được nghiệm x = 1)
\]

Thử thêm nữa:

- Với \( x = -1 \):
\[
(-1)^2 + 3(-1) - 1 - \log_3 \left( \frac{1}{1} \right) = 1 - 3 - 1 = -3
\]
(Không là nghiệm)

Chung quy có tìm được nghiệm:

- \( x = 1 \)

Kết luận, nghiệm của phương trình là \( x = 1 \).