Giả sử tam giác \( ABC \) đều có đỉnh \( A \) và các cạnh \( AB = AC = BC \).

Ta sẽ phân tích các điểm trong tam giác và mối quan hệ giữa chúng:

1. **Kẻ đường thẳng song song với \( BC \)**: Đường thẳng cắt \( AB \) tại điểm \( D \) và cắt \( AC \) tại điểm \( E \). Từ đó, ta có \( DE \parallel BC \).

2. **Tính độ cao**: Gọi độ dài một cạnh của tam giác đều là \( a \). Độ cao \( h \) của tam giác đều được tính là \( h = \frac{\sqrt{3}}{2} a \).

3. **Tọa độ các đỉnh**: Ta có các đỉnh:
- \( A(0, h) \)
- \( B(-\frac{a}{2}, 0) \)
- \( C(\frac{a}{2}, 0) \)

4. **Tìm tọa độ \( D \) và \( E \)**: Giả sử đường thẳng cắt \( AB \) và \( AC \) tại \( D \) và \( E \) tương ứng với tỉ lệ \( k \) (tức là \( AD : DB = k : 1 \) và \( AE : EC = k : 1 \)). Ta có thể tìm tọa độ của \( D \) và \( E \).
- Tọa độ \( D \) có thể tính được bằng tỉ lệ chia đoạn \( AB \).
- Tọa độ \( E \) có thể tính được tương tự.

5. **Xác định trọng tâm \( G \)**: Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ADE \) được tính theo công thức:
\[
G = \left(\frac{x_A + x_D + x_E}{3}, \frac{y_A + y_D + y_E}{3}\right)
\]
với \( (x_A, y_A), (x_D, y_D), (x_E, y_E) \) lần lượt là tọa độ của các đỉnh.

6. **Tính trung điểm \( I \) của \( CD \)**: Tọa độ điểm \( I \) sẽ là:
\[
I = \left(\frac{x_C + x_D}{2}, \frac{y_C + y_D}{2}\right)
\]

7. **Sử dụng hình học để tìm góc \( BGI \)**:
Thực hiện các tính toán hình học và định lý lượng giác nếu cần thiết để xác định số đo góc \( BGI \).

Bằng việc sắp xếp từng bước như trên và tính toán cụ thể hoặc sử dụng công thức lượng giác, ta sẽ nhận được số đo của góc \( BGI \). Theo lý thuyết hình học, ta có thể kết hợp với việc góc giữa hai vectơ để tính góc này.

Kết quả là:
\[
\angle BGI = 30^\circ
\]